MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Unicode version

Theorem deg1sublt 19496
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1sublt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1sublt.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1sublt.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1sublt.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
deg1sublt.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1sublt.fb  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1sublt.fd  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
deg1sublt.gb  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sublt.gd  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
deg1sublt.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
deg1sublt.c  |-  C  =  (coe1 `  G )
deg1sublt.eq  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sublt  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1sublt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 deg1sublt.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6 eqid 2283 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .-  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .-  G ) )
7 deg1sublt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
82ply1rng 16326 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
9 rnggrp 15346 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
11 deg1sublt.fb . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1sublt.gb . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
13 deg1sublt.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
144, 13grpsubcl 14546 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
16 deg1sublt.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
182, 4, 13, 17coe1subfv 16343 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `
 L )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) ) )
20 deg1sublt.eq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
2120oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
22 rnggrp 15346 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
237, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
24 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
25 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2624, 4, 2, 25coe1f 16292 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
2712, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  G ) `  L
)  e.  ( Base `  R ) )
2927, 16, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)
3025, 5, 17grpsubid 14550 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  G ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) )  =  ( 0g `  R ) )
3123, 29, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( 0g `  R
) )
3219, 21, 313eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( 0g `  R ) )
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 32deg1ldgn 19479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =/=  L )
3433neneqd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L )
351, 2, 4deg1xrcl 19468 . . . . 5  |-  ( ( F  .-  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e. 
RR* )
3615, 35syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR* )
371, 2, 4deg1xrcl 19468 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3812, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
391, 2, 4deg1xrcl 19468 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
4011, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
41 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
4238, 40, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4316nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4443rexrd 8881 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
452, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 19493 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
46 deg1sublt.fd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
47 deg1sublt.gd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
48 xrmaxle 10512 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L  <->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `
 G )  <_  L ) ) )
4940, 38, 44, 48syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L 
<->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `  G
)  <_  L )
) )
5046, 47, 49mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  <_  L
)
5136, 42, 44, 45, 50xrletrd 10493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L )
52 xrleloe 10478 . . . 4  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  (
( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5336, 44, 52syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5451, 53mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L ) )
55 orel2 372 . 2  |-  ( -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L  ->  (
( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L )  -> 
( D `  ( F  .-  G ) )  <  L ) )
5634, 54, 55sylc 56 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  ply1divex  19522  deg1submon1p  19538  hbtlem5  27332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-rlreg 16024  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator