MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Unicode version

Theorem deg1sublt 20025
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1sublt.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1sublt.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1sublt.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1sublt.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
deg1sublt.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1sublt.fb  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1sublt.fd  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
deg1sublt.gb  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sublt.gd  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
deg1sublt.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
deg1sublt.c  |-  C  =  (coe1 `  G )
deg1sublt.eq  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sublt  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1sublt.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 deg1sublt.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6 eqid 2435 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .-  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .-  G ) )
7 deg1sublt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
82ply1rng 16634 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
9 rnggrp 15661 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
11 deg1sublt.fb . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
12 deg1sublt.gb . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
13 deg1sublt.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
144, 13grpsubcl 14861 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
1510, 11, 12, 14syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  e.  B )
16 deg1sublt.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
17 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
182, 4, 13, 17coe1subfv 16651 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `
 L )  =  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) ) )
20 deg1sublt.eq . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  L )  =  ( (coe1 `  G ) `  L ) )
2120oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) ) )
22 rnggrp 15661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
237, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
24 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
25 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2624, 4, 2, 25coe1f 16601 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
2712, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
2827, 16ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)
2925, 5, 17grpsubid 14865 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  G ) `  L )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( (
(coe1 `  G ) `  L ) ( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L
) )  =  ( 0g `  R ) )
3023, 28, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  L )
( -g `  R ) ( (coe1 `  G ) `  L ) )  =  ( 0g `  R
) )
3119, 21, 303eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .-  G ) ) `  L )  =  ( 0g `  R ) )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 20008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =/=  L )
3332neneqd 2614 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L )
341, 2, 4deg1xrcl 19997 . . . . 5  |-  ( ( F  .-  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e. 
RR* )
3515, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR* )
361, 2, 4deg1xrcl 19997 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3712, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
381, 2, 4deg1xrcl 19997 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
3911, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
40 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
4137, 39, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
4216nn0red 10267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4342rexrd 9126 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
442, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 20022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
45 deg1sublt.fd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
46 deg1sublt.gd . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
47 xrmaxle 10763 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L  <->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `
 G )  <_  L ) ) )
4839, 37, 43, 47syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L 
<->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `  G
)  <_  L )
) )
4945, 46, 48mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  <_  L
)
5035, 41, 43, 44, 49xrletrd 10744 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L )
51 xrleloe 10729 . . . 4  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  G ) )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  (
( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5235, 43, 51syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  L  <->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  < 
L  \/  ( D `
 ( F  .-  G ) )  =  L ) ) )
5350, 52mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L ) )
54 orel2 373 . 2  |-  ( -.  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  L  ->  (
( ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L  \/  ( D `  ( F 
.-  G ) )  =  L )  -> 
( D `  ( F  .-  G ) )  <  L ) )
5533, 53, 54sylc 58 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680   Ringcrg 15652  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566   deg1 cdg1 19969
This theorem is referenced by:  ply1divex  20051  deg1submon1p  20067  hbtlem5  27300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-rlreg 16335  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971
  Copyright terms: Public domain W3C validator