MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1submon1p Structured version   Unicode version

Theorem deg1submon1p 20065
Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1submon1p.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1submon1p.o  |-  O  =  (Monic1p `  R )
deg1submon1p.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1submon1p.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1submon1p.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1submon1p.f1  |-  ( ph  ->  F  e.  O )
deg1submon1p.f2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  X )
deg1submon1p.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  O )
deg1submon1p.g2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  X )
Assertion
Ref Expression
deg1submon1p  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  X )

Proof of Theorem deg1submon1p
StepHypRef Expression
1 deg1submon1p.d . 2  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1submon1p.p . 2  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2435 . 2  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 deg1submon1p.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 deg1submon1p.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  X )
6 deg1submon1p.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 deg1submon1p.f1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  O )
8 deg1submon1p.o . . . . . 6  |-  O  =  (Monic1p `  R )
92, 3, 8mon1pcl 20057 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  F  e.  ( Base `  P
) )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  P ) )
11 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
122, 11, 8mon1pn0 20059 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  F  =/=  ( 0g `  P
) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  ( 0g
`  P ) )
141, 2, 11, 3deg1nn0cl 20001 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  P
)  /\  F  =/=  ( 0g `  P ) )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
156, 10, 13, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
165, 15eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
1716nn0red 10265 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1817leidd 9583 . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
195, 18eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  X )
20 deg1submon1p.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  O )
212, 3, 8mon1pcl 20057 . . 3  |-  ( G  e.  O  ->  G  e.  ( Base `  P
) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  P ) )
23 deg1submon1p.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  X )
2423, 18eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  X )
25 eqid 2435 . 2  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
26 eqid 2435 . 2  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
275fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( (coe1 `  F ) `  X
) )
28 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
291, 28, 8mon1pldg 20062 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  (
(coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( 1r
`  R ) )
307, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3127, 30eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  X )  =  ( 1r `  R ) )
321, 28, 8mon1pldg 20062 . . . 4  |-  ( G  e.  O  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3320, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3423fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  X
) )
3531, 33, 343eqtr2d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  X )  =  ( (coe1 `  G ) `  X ) )
361, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35deg1sublt 20023 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    < clt 9110    <_ cle 9111   NN0cn0 10211   Basecbs 13459   0gc0g 13713   -gcsg 14678   Ringcrg 15650   1rcur 15652  Poly1cpl1 16561  coe1cco1 16564   deg1 cdg1 19967  Monic1pcmn1 20038
This theorem is referenced by:  ig1peu  20084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-rlreg 16333  df-psr 16407  df-mpl 16409  df-opsr 16415  df-psr1 16566  df-ply1 16568  df-coe1 16571  df-cnfld 16694  df-mdeg 19968  df-deg1 19969  df-mon1 20043
  Copyright terms: Public domain W3C validator