Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1submon1p Structured version   Unicode version

Theorem deg1submon1p 20065
 Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1submon1p.d deg1
deg1submon1p.o Monic1p
deg1submon1p.p Poly1
deg1submon1p.m
deg1submon1p.r
deg1submon1p.f1
deg1submon1p.f2
deg1submon1p.g1
deg1submon1p.g2
Assertion
Ref Expression
deg1submon1p

Proof of Theorem deg1submon1p
StepHypRef Expression
1 deg1submon1p.d . 2 deg1
2 deg1submon1p.p . 2 Poly1
3 eqid 2435 . 2
4 deg1submon1p.m . 2
5 deg1submon1p.f2 . . 3
6 deg1submon1p.r . . . 4
7 deg1submon1p.f1 . . . . 5
8 deg1submon1p.o . . . . . 6 Monic1p
92, 3, 8mon1pcl 20057 . . . . 5
107, 9syl 16 . . . 4
11 eqid 2435 . . . . . 6
122, 11, 8mon1pn0 20059 . . . . 5
137, 12syl 16 . . . 4
141, 2, 11, 3deg1nn0cl 20001 . . . 4
156, 10, 13, 14syl3anc 1184 . . 3
165, 15eqeltrrd 2510 . 2
1716nn0red 10265 . . . 4
1817leidd 9583 . . 3
195, 18eqbrtrd 4224 . 2
20 deg1submon1p.g1 . . 3
212, 3, 8mon1pcl 20057 . . 3
2220, 21syl 16 . 2
23 deg1submon1p.g2 . . 3
2423, 18eqbrtrd 4224 . 2
25 eqid 2435 . 2 coe1 coe1
26 eqid 2435 . 2 coe1 coe1
275fveq2d 5724 . . . 4 coe1 coe1
28 eqid 2435 . . . . . 6
291, 28, 8mon1pldg 20062 . . . . 5 coe1
307, 29syl 16 . . . 4 coe1
3127, 30eqtr3d 2469 . . 3 coe1
321, 28, 8mon1pldg 20062 . . . 4 coe1
3320, 32syl 16 . . 3 coe1
3423fveq2d 5724 . . 3 coe1 coe1
3531, 33, 343eqtr2d 2473 . 2 coe1 coe1
361, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35deg1sublt 20023 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073   clt 9110   cle 9111  cn0 10211  cbs 13459  c0g 13713  csg 14678  crg 15650  cur 15652  Poly1cpl1 16561  coe1cco1 16564   deg1 cdg1 19967  Monic1pcmn1 20038 This theorem is referenced by:  ig1peu  20084 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-rlreg 16333  df-psr 16407  df-mpl 16409  df-opsr 16415  df-psr1 16566  df-ply1 16568  df-coe1 16571  df-cnfld 16694  df-mdeg 19968  df-deg1 19969  df-mon1 20043
 Copyright terms: Public domain W3C validator