MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1submon1p Unicode version

Theorem deg1submon1p 19942
Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1submon1p.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1submon1p.o  |-  O  =  (Monic1p `  R )
deg1submon1p.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1submon1p.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
deg1submon1p.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1submon1p.f1  |-  ( ph  ->  F  e.  O )
deg1submon1p.f2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  X )
deg1submon1p.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  O )
deg1submon1p.g2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  X )
Assertion
Ref Expression
deg1submon1p  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  X )

Proof of Theorem deg1submon1p
StepHypRef Expression
1 deg1submon1p.d . 2  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1submon1p.p . 2  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2387 . 2  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 deg1submon1p.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 deg1submon1p.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  X )
6 deg1submon1p.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 deg1submon1p.f1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  O )
8 deg1submon1p.o . . . . . 6  |-  O  =  (Monic1p `  R )
92, 3, 8mon1pcl 19934 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  F  e.  ( Base `  P
) )
107, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  P ) )
11 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
122, 11, 8mon1pn0 19936 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  F  =/=  ( 0g `  P
) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  ( 0g
`  P ) )
141, 2, 11, 3deg1nn0cl 19878 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  P
)  /\  F  =/=  ( 0g `  P ) )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
156, 10, 13, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
165, 15eqeltrrd 2462 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
1716nn0red 10207 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1817leidd 9525 . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  X )
195, 18eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  X )
20 deg1submon1p.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  O )
212, 3, 8mon1pcl 19934 . . 3  |-  ( G  e.  O  ->  G  e.  ( Base `  P
) )
2220, 21syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  P ) )
23 deg1submon1p.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  X )
2423, 18eqbrtrd 4173 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  X )
25 eqid 2387 . 2  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
26 eqid 2387 . 2  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
275fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( (coe1 `  F ) `  X
) )
28 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
291, 28, 8mon1pldg 19939 . . . . 5  |-  ( F  e.  O  ->  (
(coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( 1r
`  R ) )
307, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3127, 30eqtr3d 2421 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  X )  =  ( 1r `  R ) )
321, 28, 8mon1pldg 19939 . . . 4  |-  ( G  e.  O  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3320, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3423fveq2d 5672 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  =  ( (coe1 `  G ) `  X
) )
3531, 33, 343eqtr2d 2425 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  X )  =  ( (coe1 `  G ) `  X ) )
361, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35deg1sublt 19900 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    < clt 9053    <_ cle 9054   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   0gc0g 13650   -gcsg 14615   Ringcrg 15587   1rcur 15589  Poly1cpl1 16498  coe1cco1 16501   deg1 cdg1 19844  Monic1pcmn1 19915
This theorem is referenced by:  ig1peu  19961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-rlreg 16270  df-psr 16344  df-mpl 16346  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-ply1 16505  df-coe1 16508  df-cnfld 16627  df-mdeg 19845  df-deg1 19846  df-mon1 19920
  Copyright terms: Public domain W3C validator