MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tmle Structured version   Unicode version

Theorem deg1tmle 20045
Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
deg1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
deg1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1tmle  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )

Proof of Theorem deg1tmle
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2 deg1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 deg1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 deg1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
5 deg1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 deg1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 deg1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  R  e.  Ring )
9 simpl2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  C  e.  K )
10 simpl3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  NN0 )
11 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
1210nn0red 10280 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  RR )
13 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  <  x )
1412, 13ltned 9214 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  =/=  x )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14coe1tmfv2 16672 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
1615expr 600 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( F  <  x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18ply1tmcl 16669 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
20 nn0re 10235 . . . . 5  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e.  RR )
2120rexrd 9139 . . . 4  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e. 
RR* )
22213ad2ant3 981 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  F  e.  RR* )
23 deg1tm.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
24 eqid 2438 . . . 4  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )
2523, 3, 18, 1, 24deg1leb 20023 . . 3  |-  ( ( ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  F  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( F  <  x  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
2619, 22, 25syl2anc 644 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  <_  F  <->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2717, 26mpbird 225 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   .scvsca 13538   0gc0g 13728  .gcmg 14694  mulGrpcmgp 15653   Ringcrg 15665  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579   deg1 cdg1 19982
This theorem is referenced by:  deg1tm  20046  deg1pwle  20047  ply1divex  20064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator