MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tmle Unicode version

Theorem deg1tmle 19718
Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
deg1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
deg1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1tmle  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )

Proof of Theorem deg1tmle
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2 deg1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 deg1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 deg1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
5 deg1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 deg1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 deg1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 simpl1 959 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  R  e.  Ring )
9 simpl2 960 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  C  e.  K )
10 simpl3 961 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  NN0 )
11 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
1210nn0red 10168 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  RR )
13 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  <  x )
1412, 13ltned 9102 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  =/=  x )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14coe1tmfv2 16561 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
1615expr 598 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( F  <  x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
18 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18ply1tmcl 16558 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
20 nn0re 10123 . . . . 5  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e.  RR )
2120rexrd 9028 . . . 4  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e. 
RR* )
22213ad2ant3 979 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  F  e.  RR* )
23 deg1tm.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
24 eqid 2366 . . . 4  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )
2523, 3, 18, 1, 24deg1leb 19696 . . 3  |-  ( ( ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  F  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( F  <  x  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
2619, 22, 25syl2anc 642 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  <_  F  <->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2717, 26mpbird 223 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   .scvsca 13420   0gc0g 13610  .gcmg 14576  mulGrpcmgp 15535   Ringcrg 15547  var1cv1 16461  Poly1cpl1 16462  coe1cco1 16465   deg1 cdg1 19655
This theorem is referenced by:  deg1tm  19719  deg1pwle  19720  ply1divex  19737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-coe1 16472  df-cnfld 16594  df-mdeg 19656  df-deg1 19657
  Copyright terms: Public domain W3C validator