MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tmle Unicode version

Theorem deg1tmle 19993
Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1tm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
deg1tm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1tm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1tm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
deg1tm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1tm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1tmle  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )

Proof of Theorem deg1tmle
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2 deg1tm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 deg1tm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 deg1tm.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
5 deg1tm.m . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  P )
6 deg1tm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  P )
7 deg1tm.e . . . . 5  |-  .^  =  (.g
`  N )
8 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  R  e.  Ring )
9 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  C  e.  K )
10 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  NN0 )
11 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  x  e.  NN0 )
1210nn0red 10231 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  e.  RR )
13 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  <  x )
1412, 13ltned 9165 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  F  =/=  x )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14coe1tmfv2 16622 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  NN0  /\  F  <  x ) )  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
1615expr 599 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( F  <  x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1716ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
18 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18ply1tmcl 16619 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
) )
20 nn0re 10186 . . . . 5  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e.  RR )
2120rexrd 9090 . . . 4  |-  ( F  e.  NN0  ->  F  e. 
RR* )
22213ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  F  e.  RR* )
23 deg1tm.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
24 eqid 2404 . . . 4  |-  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  =  (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )
2523, 3, 18, 1, 24deg1leb 19971 . . 3  |-  ( ( ( C  .x.  ( F  .^  X ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  F  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( F  <  x  -> 
( (coe1 `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
2619, 22, 25syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X ) ) )  <_  F  <->  A. x  e.  NN0  ( F  < 
x  ->  ( (coe1 `  ( C  .x.  ( F 
.^  X ) ) ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
2717, 26mpbird 224 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  C  e.  K  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( C  .x.  ( F  .^  X
) ) )  <_  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .scvsca 13488   0gc0g 13678  .gcmg 14644  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615  var1cv1 16525  Poly1cpl1 16526  coe1cco1 16529   deg1 cdg1 19930
This theorem is referenced by:  deg1tm  19994  deg1pwle  19995  ply1divex  20012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-mdeg 19931  df-deg1 19932
  Copyright terms: Public domain W3C validator