MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1val Unicode version

Theorem deg1val 19580
Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1val  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem deg1val
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 19564 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2358 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2358 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 16367 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 16357 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { y  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 19545 . . 3  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  x ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegval 19547 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
12 imaco 5257 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )
13 deg1leb.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (coe1 `  F )
14 df1o2 6575 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
15 nn0ex 10060 . . . . . . . . 9  |-  NN0  e.  _V
16 0ex 4229 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
17 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) )  =  ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
1814, 15, 16, 17mapsncnv 6899 . . . . . . . 8  |-  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  =  ( y  e. 
NN0  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
1913, 6, 4, 18coe1fval2 16384 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  A  =  ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
2019cnveqd 4936 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  `' A  =  `' ( F  o.  `' (
x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) ) )
21 cnvco 4944 . . . . . . 7  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
22 cocnvcnv1 5262 . . . . . . 7  |-  ( `' `' ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
2321, 22eqtri 2378 . . . . . 6  |-  `' ( F  o.  `' ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )
2420, 23syl6req 2407 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F )  =  `' A )
2524imaeq1d 5090 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  (
( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `  (/) ) )  o.  `' F ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
2612, 25syl5eqr 2404 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( x  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( x `  (/) ) )
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( `' A " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )
2726supeq1d 7286 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( x  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( x `
 (/) ) ) "
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR* ,  <  ) )
2811, 27eqtrd 2390 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( `' A " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225   (/)c0 3531   {csn 3716    e. cmpt 4156   `'ccnv 4767   "cima 4771    o. ccom 4772   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   1oc1o 6556    ^m cmap 6857   supcsup 7280   RR*cxr 8953    < clt 8954   NN0cn0 10054   Basecbs 13239   0gc0g 13493   mPoly cmpl 16182  PwSer1cps1 16343  Poly1cpl1 16345  coe1cco1 16348   deg1 cdg1 19538
This theorem is referenced by:  deg1mul3  19599  deg1mul3le  19600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-cring 15434  df-psr 16191  df-mpl 16193  df-opsr 16199  df-psr1 16350  df-ply1 16352  df-coe1 16355  df-cnfld 16477  df-mdeg 19539  df-deg1 19540
  Copyright terms: Public domain W3C validator