MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1xrcl Unicode version

Theorem deg1xrcl 19866
Description: Closure of univariate polynomial degree in extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1xrf.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1xrf.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1xrf.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
deg1xrcl  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )

Proof of Theorem deg1xrcl
StepHypRef Expression
1 deg1xrf.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2 deg1xrf.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 deg1xrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
41, 2, 3deg1xrf 19865 . 2  |-  D : B
--> RR*
54ffvelrni 5802 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5388   RR*cxr 9046   Basecbs 13390  Poly1cpl1 16492   deg1 cdg1 19838
This theorem is referenced by:  deg1lt  19881  deg1ge  19882  coe1mul3  19883  deg1addle2  19886  deg1add  19887  deg1sublt  19894  deg1mul2  19898  deg1tm  19902  ply1divmo  19919  ply1remlem  19946  ig1peu  19955  plypf1  19992  hbtlem2  26991  idomrootle  27174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-seq 11245  df-hash 11540  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-0g 13648  df-gsum 13649  df-mnd 14611  df-submnd 14660  df-grp 14733  df-minusg 14734  df-cntz 15037  df-cmn 15335  df-abl 15336  df-mgp 15570  df-rng 15584  df-cring 15585  df-ur 15586  df-psr 16338  df-mpl 16340  df-opsr 16346  df-psr1 16497  df-ply1 16499  df-cnfld 16621  df-mdeg 19839  df-deg1 19840
  Copyright terms: Public domain W3C validator