MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  degltlem1 Structured version   Unicode version

Theorem degltlem1 19997
Description: Theorem on arithmetic of extended reals useful for degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
degltlem1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )

Proof of Theorem degltlem1
StepHypRef Expression
1 elun 3490 . 2  |-  ( X  e.  ( NN0  u.  { 
-oo } )  <->  ( X  e.  NN0  \/  X  e. 
{  -oo } ) )
2 nn0z 10306 . . . 4  |-  ( X  e.  NN0  ->  X  e.  ZZ )
3 zltlem1 10330 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
42, 3sylan 459 . . 3  |-  ( ( X  e.  NN0  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) )
5 zre 10288 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  Y  e.  RR )
6 mnflt 10724 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  RR  ->  -oo  <  Y )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  -oo  <  Y )
8 peano2zm 10322 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  ZZ )
98zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR )
109rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y  -  1 )  e.  RR* )
11 mnfle 10731 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  -  1 )  e.  RR*  ->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) )
137, 122thd 233 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  (  -oo  <  Y  <->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
14 elsni 3840 . . . . . 6  |-  ( X  e.  {  -oo }  ->  X  =  -oo )
15 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( X  =  -oo  ->  ( X  <  Y  <->  -oo  <  Y
) )
16 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( X  =  -oo  ->  ( X  <_  ( Y  - 
1 )  <->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) )
1715, 16bibi12d 314 . . . . . 6  |-  ( X  =  -oo  ->  (
( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) )  <->  (  -oo  <  Y  <->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  {  -oo }  ->  ( ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) )  <-> 
(  -oo  <  Y  <->  -oo  <_  ( Y  -  1 ) ) ) )
1913, 18syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( X  e.  {  -oo }  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  - 
1 ) ) ) )
2019impcom 421 . . 3  |-  ( ( X  e.  {  -oo }  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
214, 20jaoian 761 . 2  |-  ( ( ( X  e.  NN0  \/  X  e.  {  -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  <  Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
221, 21sylanb 460 1  |-  ( ( X  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } )  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( X  < 
Y  <->  X  <_  ( Y  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320   {csn 3816   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NN0cn0 10223   ZZcz 10284
This theorem is referenced by:  degltp1le  19998  ply1divex  20061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285
  Copyright terms: Public domain W3C validator