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Theorem demoivreALT 12757
Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
demoivreALT  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )

Proof of Theorem demoivreALT
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 ) )
2 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  A )  =  ( 0  x.  A ) )
32fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
0  x.  A ) ) )
42fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
0  x.  A ) ) )
54oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A ) ) ) )
63, 5oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) )
71, 6eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) ) )
87imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) ) ) )
9 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k ) )
10 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  x.  A )  =  ( k  x.  A ) )
1110fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
k  x.  A ) ) )
1210fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )
1312oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
1411, 13oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )
159, 14eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
17 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) ) )
18 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  x.  A )  =  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )
1918fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) )
2018fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) )
2219, 21oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
2317, 22eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
25 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N ) )
26 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  x.  A )  =  ( N  x.  A ) )
2726fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  ( N  x.  A )
) )
2826fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  ( N  x.  A )
) )
2928oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A ) ) ) )
3027, 29oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
3125, 30eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) )
3231imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) ) )
33 coscl 12683 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
34 ax-icn 9005 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
35 sincl 12682 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
36 mulcl 9030 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3734, 35, 36sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
38 addcl 9028 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3933, 37, 38syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
40 exp0 11341 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  1 )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  1 )
42 mul02 9200 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4342fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 0  x.  A ) )  =  ( cos `  0
) )
44 cos0 12706 . . . . . . 7  |-  ( cos `  0 )  =  1
4543, 44syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 0  x.  A ) )  =  1 )
4642fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( 0  x.  A ) )  =  ( sin `  0
) )
47 sin0 12705 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  0 )  =  0
4846, 47syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( 0  x.  A ) )  =  0 )
4948oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5034mul01i 9212 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
5149, 50syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A
) ) )  =  0 )
5245, 51oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
53 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5453addid1i 9209 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5552, 54syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) )  =  1 )
5641, 55eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) )
57 expp1 11343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  x.  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
5839, 57sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
5958ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6059adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
61 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  -> 
( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6261adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
63 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
64 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( k  x.  A
)  e.  CC )
6563, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( k  x.  A
)  e.  CC )
66 sinadd 12720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  x.  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6765, 66sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6833adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
69 sincl 12682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  A )  e.  CC  ->  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )
7065, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC )
71 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) ) )
7372oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
74 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
7568, 70, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
76 coscl 12683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )
7765, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC )
7835adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
79 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8077, 78, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
81 addcom 9208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8275, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8367, 73, 823eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8483oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) )
8584oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
86 adddir 9039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  ( 1  x.  A
) ) )
87 mulid2 9045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( k  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
89883ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9086, 89eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9163, 90syl3an1 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9253, 91mp3an2 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9392fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  =  ( cos `  ( ( k  x.  A )  +  A
) ) )
9492fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A
) ) )
9594oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A ) ) ) )
9693, 95oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) ) ) ) )
97 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )
9834, 97mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
9965, 69, 983syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )
10033, 37jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )
101100adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )
102 muladd 9422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
10377, 99, 101, 102syl21anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
10478, 34jctil 524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC ) )
10570, 34jctil 524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )
106 mul4 9191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC )  /\  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )
107 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
108107oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )
109106, 108syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC )  /\  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )
110104, 105, 109syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
111110oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
112111oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
113 mul12 9188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  ->  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11434, 113mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11577, 78, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
116 mul12 9188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
11734, 116mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
11868, 70, 117syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
119115, 118oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
120 adddi 9035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
12134, 120mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
12280, 75, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
123119, 122eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
124123oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
125103, 112, 1243eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
126 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
12778, 70, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
128 mulm1 9431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
130129oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  + 
-u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )
131130oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
132 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC )
13377, 68, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC )
134 negsub 9305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
135133, 127, 134syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
136135oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
137125, 131, 1363eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
138 cosadd 12721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  x.  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
13965, 138sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
140 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )
14170, 78, 140syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )
142141oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
143139, 142eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
144143oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
145137, 144eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  x.  A )  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
14685, 96, 1453eqtr4rd 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
147146adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
14860, 62, 1473eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
149148exp31 588 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
150149a2d 24 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  ->  ( A  e.  CC  ->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
1518, 16, 24, 32, 56, 150nn0ind 10322 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) )
152151impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   NN0cn0 10177   ^cexp 11337   sincsin 12621   cosccos 12622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628
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