MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  demoivreALT Unicode version

Theorem demoivreALT 12481
Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. (Contributed by Steve Rodriguez, 10-Nov-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
demoivreALT  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )

Proof of Theorem demoivreALT
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 ) )
2 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  A )  =  ( 0  x.  A ) )
32fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
0  x.  A ) ) )
42fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
0  x.  A ) ) )
54oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A ) ) ) )
63, 5oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) )
71, 6eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) ) )
87imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ 0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) ) ) )
9 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k ) )
10 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  x.  A )  =  ( k  x.  A ) )
1110fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
k  x.  A ) ) )
1210fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )
1312oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
1411, 13oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )
159, 14eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
17 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) ) )
18 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  x.  A )  =  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )
1918fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) )
2018fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) )
2219, 21oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
2317, 22eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
25 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
x )  =  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N ) )
26 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  x.  A )  =  ( N  x.  A ) )
2726fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( cos `  ( x  x.  A ) )  =  ( cos `  ( N  x.  A )
) )
2826fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( sin `  ( x  x.  A ) )  =  ( sin `  ( N  x.  A )
) )
2928oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( x  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A ) ) ) )
3027, 29oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
3125, 30eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) )  <->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) )
3231imbi2d 307 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ x )  =  ( ( cos `  (
x  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
x  x.  A ) ) ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) ) )
33 coscl 12407 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
34 ax-icn 8796 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
35 sincl 12406 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
36 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
3734, 35, 36sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
38 addcl 8819 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
3933, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC )
40 exp0 11108 . . . . 5  |-  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  1 )
4139, 40syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  1 )
42 mul02 8990 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
4342fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 0  x.  A ) )  =  ( cos `  0
) )
44 cos0 12430 . . . . . . 7  |-  ( cos `  0 )  =  1
4543, 44syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( 0  x.  A ) )  =  1 )
4642fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( 0  x.  A ) )  =  ( sin `  0
) )
47 sin0 12429 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  0 )  =  0
4846, 47syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( 0  x.  A ) )  =  0 )
4948oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A
) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5034mul01i 9002 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
5149, 50syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( 0  x.  A
) ) )  =  0 )
5245, 51oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) )  =  ( 1  +  0 ) )
53 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5453addid1i 8999 . . . . 5  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5552, 54syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) )  =  1 )
5641, 55eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
0 )  =  ( ( cos `  (
0  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
0  x.  A ) ) ) ) )
57 expp1 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  e.  CC  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  x.  ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ) )
5839, 57sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
5958ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6059adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
61 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  -> 
( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
6261adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ) )
63 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
64 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( k  x.  A
)  e.  CC )
6563, 64sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( k  x.  A
)  e.  CC )
66 sinadd 12444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  x.  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6765, 66sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
6833adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  A
)  e.  CC )
69 sincl 12406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  A )  e.  CC  ->  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )
7065, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC )
71 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  =  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) ) )
7372oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
74 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
7568, 70, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
76 coscl 12407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  A )  e.  CC  ->  ( cos `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )
7765, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC )
7835adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  A
)  e.  CC )
79 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
8077, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
81 addcom 8998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8275, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  +  ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8367, 73, 823eqtr2d 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
8483oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) )
8584oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
86 adddir 8830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  ( 1  x.  A
) ) )
87 mulid2 8836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( k  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
89883ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  x.  A
)  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9086, 89eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9163, 90syl3an1 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  x.  A )  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9253, 91mp3an2 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  x.  A
)  =  ( ( k  x.  A )  +  A ) )
9392fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  =  ( cos `  ( ( k  x.  A )  +  A
) ) )
9492fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  =  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A
) ) )
9594oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) )  =  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  x.  A )  +  A ) ) ) )
9693, 95oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  x.  A
)  +  A ) ) ) ) )
97 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )
9834, 97mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
9965, 69, 983syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )
10033, 37jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )
101100adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )
102 muladd 9212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) )  e.  CC )  /\  ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  x.  (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
10377, 99, 101, 102syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
10478, 34jctil 523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC ) )
10570, 34jctil 523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )
106 mul4 8981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC )  /\  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )
107 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
108107oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )
109106, 108syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A
)  e.  CC )  /\  ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC ) )  ->  ( (
_i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )
110104, 105, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
111110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
112111oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  ( ( _i  x.  ( sin `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
113 mul12 8978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  ->  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11434, 113mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
11577, 78, 114syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
116 mul12 8978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  ->  (
( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
11734, 116mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
11868, 70, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
119115, 118oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
120 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
12134, 120mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
12280, 75, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( _i  x.  (
( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
123119, 122eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  (
_i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )
124123oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
125103, 112, 1243eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
126 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sin `  A
)  e.  CC  /\  ( sin `  ( k  x.  A ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
12778, 70, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC )
128 mulm1 9221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) )  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
129127, 128syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )
130129oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  + 
-u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )
131130oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  (
-u 1  x.  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
132 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( cos `  A )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC )
13377, 68, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC )
134 negsub 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  e.  CC  /\  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  =  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
135133, 127, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  +  -u ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  +  -u ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A
) )  -  (
( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
137125, 131, 1363eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
138 cosadd 12445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  x.  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
13965, 138sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) ) ) )
140 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )
14170, 78, 140syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A ) )  =  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )
142141oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
143139, 142eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  =  ( ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) )
144143oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( k  x.  A
)  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( cos `  A ) )  -  ( ( sin `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  x.  ( sin `  A
) )  +  ( ( cos `  A
)  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) ) ) ) )
145137, 144eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  x.  A )  +  A ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  x.  ( sin `  A ) )  +  ( ( cos `  A )  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) ) ) )
14685, 96, 1453eqtr4rd 2326 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
147146adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  ( k  x.  A
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( ( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
14860, 62, 1473eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  A  e.  CC )  /\  ( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k
)  =  ( ( cos `  ( k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( k  x.  A ) ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) )
149148exp31 587 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
150149a2d 23 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  ->  ( ( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
k )  =  ( ( cos `  (
k  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
k  x.  A ) ) ) ) )  ->  ( A  e.  CC  ->  ( (
( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( cos `  (
( k  +  1 )  x.  A ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
( k  +  1 )  x.  A ) ) ) ) ) ) )
1518, 16, 24, 32, 56, 150nn0ind 10108 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  CC  ->  (
( ( cos `  A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) ) )
152151impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( cos `  A )  +  ( _i  x.  ( sin `  A ) ) ) ^ N )  =  ( ( cos `  ( N  x.  A )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  ( N  x.  A )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   sincsin 12345   cosccos 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352
  Copyright terms: Public domain W3C validator