Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derang0 Unicode version

Theorem derang0 24634
Description: The derangement number of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derang0  |-  ( D `
 (/) )  =  1
Distinct variable group:    x, f, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)

Proof of Theorem derang0
StepHypRef Expression
1 0fin 7272 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
32derangval 24632 . . 3  |-  ( (/)  e.  Fin  ->  ( D `  (/) )  =  (
# `  { f  |  ( f :
(/)
-1-1-onto-> (/) 
/\  A. y  e.  (/)  ( f `  y
)  =/=  y ) } ) )
41, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( D `
 (/) )  =  (
# `  { f  |  ( f :
(/)
-1-1-onto-> (/) 
/\  A. y  e.  (/)  ( f `  y
)  =/=  y ) } )
5 ral0 3675 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  ( f `  y )  =/=  y
65biantru 492 . . . . . 6  |-  ( f : (/)
-1-1-onto-> (/)  <->  ( f : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  A. y  e.  (/)  ( f `  y )  =/=  y
) )
7 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (/)
8 f1o00 5650 . . . . . . 7  |-  ( f : (/)
-1-1-onto-> (/)  <->  ( f  =  (/)  /\  (/)  =  (/) ) )
97, 8mpbiran2 886 . . . . . 6  |-  ( f : (/)
-1-1-onto-> (/)  <->  f  =  (/) )
106, 9bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( ( f : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  A. y  e.  (/)  ( f `  y )  =/=  y
)  <->  f  =  (/) )
1110abbii 2499 . . . 4  |-  { f  |  ( f :
(/)
-1-1-onto-> (/) 
/\  A. y  e.  (/)  ( f `  y
)  =/=  y ) }  =  { f  |  f  =  (/) }
12 df-sn 3763 . . . 4  |-  { (/) }  =  { f  |  f  =  (/) }
1311, 12eqtr4i 2410 . . 3  |-  { f  |  ( f :
(/)
-1-1-onto-> (/) 
/\  A. y  e.  (/)  ( f `  y
)  =/=  y ) }  =  { (/) }
1413fveq2i 5671 . 2  |-  ( # `  { f  |  ( f : (/) -1-1-onto-> (/)  /\  A. y  e.  (/)  ( f `  y )  =/=  y
) } )  =  ( # `  { (/)
} )
15 0ex 4280 . . 3  |-  (/)  e.  _V
16 hashsng 11574 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( # `  { (/)
} )  =  1 )
1715, 16ax-mp 8 . 2  |-  ( # `  { (/) } )  =  1
184, 14, 173eqtri 2411 1  |-  ( D `
 (/) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373    =/= wne 2550   A.wral 2649   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   {csn 3757    e. cmpt 4207   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394   Fincfn 7045   1c1 8924   #chash 11545
This theorem is referenced by:  subfac0  24642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546
  Copyright terms: Public domain W3C validator