Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangen2 Structured version   Unicode version

Theorem derangen2 24861
Description: Write the derangement number in terms of the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
derangen2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( S `  ( # `  A ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem derangen2
StepHypRef Expression
1 hashcl 11640 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . 4  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacval 24860 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( S `  ( # `  A
) )  =  ( D `  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( S `  ( # `  A
) )  =  ( D `  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
6 hashfz1 11631 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
) )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
) )
8 fzfid 11313 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( # `  A
) )  e.  Fin )
9 hashen 11632 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
) )
108, 9mpancom 652 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
) )
117, 10mpbid 203 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
)
122derangen 24859 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( D `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( D `  A
) )
1311, 12mpancom 652 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( D `  A
) )
145, 13eqtr2d 2470 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( S `  ( # `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423    =/= wne 2600   A.wral 2706   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ~~ cen 7107   Fincfn 7110   1c1 8992   NN0cn0 10222   ...cfz 11044   #chash 11619
This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  24869  subfacp1lem5  24871  derangfmla  24877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620
  Copyright terms: Public domain W3C validator