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Theorem derangenlem 24849
Description: One half of derangen 24850. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangenlem  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  <_  ( D `  B ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)

Proof of Theorem derangenlem
Dummy variables  g  h  s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  ~~  B )
2 bren 7109 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  <->  E. s 
s : A -1-1-onto-> B )
31, 2sylib 189 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  E. s  s : A -1-1-onto-> B )
4 deranglem 24844 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
54adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) }  e.  Fin )
6 f1oco 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s : A -1-1-onto-> B  /\  g : A -1-1-onto-> A )  ->  (
s  o.  g ) : A -1-1-onto-> B )
76ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  (
s  o.  g ) : A -1-1-onto-> B )
8 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s : A -1-1-onto-> B  ->  `' s : B -1-1-onto-> A )
98ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  `' s : B -1-1-onto-> A )
10 f1oco 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  o.  g
) : A -1-1-onto-> B  /\  `' s : B -1-1-onto-> A
)  ->  ( (
s  o.  g )  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B )
117, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B )
12 coass 5380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  =  ( s  o.  ( g  o.  `' s ) )
1312fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  z )  =  ( ( s  o.  ( g  o.  `' s ) ) `
 z )
14 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  g : A -1-1-onto-> A )
15 f1oco 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> A  /\  `' s : B -1-1-onto-> A
)  ->  ( g  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> A )
1614, 9, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  (
g  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> A )
17 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> A  -> 
( g  o.  `' s ) : B --> A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  (
g  o.  `' s ) : B --> A )
19 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  o.  `' s ) : B --> A  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
s  o.  ( g  o.  `' s ) ) `  z )  =  ( s `  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) ) )
2018, 19sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
s  o.  ( g  o.  `' s ) ) `  z )  =  ( s `  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) ) )
2113, 20syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  z )  =  ( s `  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) ) )
22 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' s : B -1-1-onto-> A  ->  `' s : B --> A )
239, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  `' s : B --> A )
24 fvco3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' s : B --> A  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
g  o.  `' s ) `  z )  =  ( g `  ( `' s `  z
) ) )
2523, 24sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
g  o.  `' s ) `  z )  =  ( g `  ( `' s `  z
) ) )
2623ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( `' s `  z )  e.  A )
27 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
)
28 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' s `
 z )  -> 
( g `  y
)  =  ( g `
 ( `' s `
 z ) ) )
29 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' s `
 z )  -> 
y  =  ( `' s `  z ) )
3028, 29neeq12d 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( `' s `
 z )  -> 
( ( g `  y )  =/=  y  <->  ( g `  ( `' s `  z ) )  =/=  ( `' s `  z ) ) )
3130rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' s `  z
)  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y  ->  ( g `  ( `' s `  z
) )  =/=  ( `' s `  z
) ) )
3226, 27, 31sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( g `  ( `' s `  z ) )  =/=  ( `' s `  z ) )
3325, 32eqnetrd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
g  o.  `' s ) `  z )  =/=  ( `' s `
 z ) )
3433necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( `' s `  z )  =/=  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) )
35 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  s : A
-1-1-onto-> B )
3618ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
g  o.  `' s ) `  z )  e.  A )
37 f1ocnvfv 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s : A -1-1-onto-> B  /\  ( ( g  o.  `' s ) `  z )  e.  A
)  ->  ( (
s `  ( (
g  o.  `' s ) `  z ) )  =  z  -> 
( `' s `  z )  =  ( ( g  o.  `' s ) `  z
) ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
s `  ( (
g  o.  `' s ) `  z ) )  =  z  -> 
( `' s `  z )  =  ( ( g  o.  `' s ) `  z
) ) )
3938necon3d 2636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( ( `' s `  z
)  =/=  ( ( g  o.  `' s ) `  z )  ->  ( s `  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) )  =/=  z ) )
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( s `  ( ( g  o.  `' s ) `  z ) )  =/=  z )
4121, 40eqnetrd 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B )  /\  (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y ) )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  z )  =/=  z )
4241ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  A. z  e.  B  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  z )  =/=  z )
43 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  z
)  =  ( ( ( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y ) )
44 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
4543, 44neeq12d 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  z )  =/=  z  <->  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  y
)  =/=  y ) )
4645cbvralv 2924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  B  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  z
)  =/=  z  <->  A. y  e.  B  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y )  =/=  y )
4742, 46sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  A. y  e.  B  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y )  =/=  y )
4811, 47jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )  ->  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  y )  =/=  y
) )
4948ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  -> 
( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y )  =/=  y ) ) )
50 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
51 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f : A -1-1-onto-> A  <->  g : A
-1-1-onto-> A ) )
52 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
5352neeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( g `  y )  =/=  y
) )
5453ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y  <->  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )
5551, 54anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y )  <-> 
( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =/=  y ) ) )
5650, 55elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y ) }  <->  ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
) )
57 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
5857, 50coex 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  o.  g )  e. 
_V
5957cnvex 5398 . . . . . . . . . 10  |-  `' s  e.  _V
6058, 59coex 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  e.  _V
61 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  -> 
( f : B -1-1-onto-> B  <->  ( ( s  o.  g
)  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B ) )
62 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  -> 
( f `  y
)  =  ( ( ( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y ) )
6362neeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  -> 
( ( f `  y )  =/=  y  <->  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  y
)  =/=  y ) )
6463ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  -> 
( A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y  <->  A. y  e.  B  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  y
)  =/=  y ) )
6561, 64anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  -> 
( ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
)  <->  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) `  y )  =/=  y ) ) )
6660, 65elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  o.  g
)  o.  `' s )  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) }  <->  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s ) : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s ) `  y
)  =/=  y ) )
6749, 56, 663imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( g  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  ->  ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  e. 
{ f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) } ) )
68 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  h  e. 
_V
69 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f : A -1-1-onto-> A  <->  h : A
-1-1-onto-> A ) )
70 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  y )  =  ( h `  y ) )
7170neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( h `  y )  =/=  y
) )
7271ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y  <->  A. y  e.  A  ( h `  y )  =/=  y
) )
7369, 72anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y )  <-> 
( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )
7468, 73elab 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y
)  =/=  y ) }  <->  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  =/=  y
) )
7556, 74anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  /\  h  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) } )  <->  ( ( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y
)  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  =/=  y
) ) )
768ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  `' s : B -1-1-onto-> A )
77 f1ofo 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' s : B -1-1-onto-> A  ->  `' s : B -onto-> A )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  `' s : B -onto-> A )
797adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
s  o.  g ) : A -1-1-onto-> B )
80 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  o.  g ) : A -1-1-onto-> B  ->  ( s  o.  g )  Fn  A
)
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
s  o.  g )  Fn  A )
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  s : A -1-1-onto-> B )
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  h : A -1-1-onto-> A )
84 f1oco 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s : A -1-1-onto-> B  /\  h : A -1-1-onto-> A )  ->  (
s  o.  h ) : A -1-1-onto-> B )
8582, 83, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
s  o.  h ) : A -1-1-onto-> B )
86 f1ofn 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  o.  h ) : A -1-1-onto-> B  ->  ( s  o.  h )  Fn  A
)
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
s  o.  h )  Fn  A )
88 cocan2 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' s : B -onto-> A  /\  ( s  o.  g )  Fn  A  /\  ( s  o.  h
)  Fn  A )  ->  ( ( ( s  o.  g )  o.  `' s )  =  ( ( s  o.  h )  o.  `' s )  <->  ( s  o.  g )  =  ( s  o.  h ) ) )
8978, 81, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s )  =  ( ( s  o.  h
)  o.  `' s )  <->  ( s  o.  g )  =  ( s  o.  h ) ) )
90 f1of1 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s : A -1-1-onto-> B  ->  s : A -1-1-> B )
9190ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  s : A -1-1-> B )
92 simprll 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  g : A -1-1-onto-> A )
93 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : A -1-1-onto-> A  ->  g : A
--> A )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  g : A --> A )
95 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h : A -1-1-onto-> A  ->  h : A
--> A )
9683, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  h : A --> A )
97 cocan1 6016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s : A -1-1-> B  /\  g : A --> A  /\  h : A --> A )  ->  ( ( s  o.  g )  =  ( s  o.  h
)  <->  g  =  h ) )
9891, 94, 96, 97syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
( s  o.  g
)  =  ( s  o.  h )  <->  g  =  h ) )
9989, 98bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  /\  ( (
g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  =/=  y ) ) )  ->  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s )  =  ( ( s  o.  h
)  o.  `' s )  <->  g  =  h ) )
10099ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
( g : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =/=  y )  /\  ( h : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  =/=  y
) )  ->  (
( ( s  o.  g )  o.  `' s )  =  ( ( s  o.  h
)  o.  `' s )  <->  g  =  h ) ) )
10175, 100syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( (
g  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  /\  h  e.  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) } )  ->  ( (
( s  o.  g
)  o.  `' s )  =  ( ( s  o.  h )  o.  `' s )  <-> 
g  =  h ) ) )
10267, 101dom2d 7140 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  /\  s : A -1-1-onto-> B
)  ->  ( {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) } ) )
103102ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( s : A -1-1-onto-> B  ->  ( { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y
)  =/=  y ) }  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } ) ) )
104103exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. s  s : A -1-1-onto-> B  ->  ( {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) } ) ) )
1053, 5, 104mp2d 43 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) } )
106 enfii 7318 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~~  B )  ->  A  e.  Fin )
107106ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
108 deranglem 24844 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  e.  Fin )
110 hashdom 11645 . . . 4  |-  ( ( { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) }  e.  Fin  /\  {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) } )  <_  ( # `  {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } )  <->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
111109, 5, 110syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  {
f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) } )  <_ 
( # `  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } )  <->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) }  ~<_  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
112105, 111mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) } )  <_ 
( # `  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
113 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
114113derangval 24845 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( # `  {
f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
115107, 114syl 16 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  =  ( # `  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  A. y  e.  A  ( f `  y )  =/=  y ) } ) )
116113derangval 24845 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( D `  B )  =  ( # `  {
f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
117116adantl 453 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  B
)  =  ( # `  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. y  e.  B  ( f `  y )  =/=  y ) } ) )
118112, 115, 1173brtr4d 4234 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  e.  Fin )  ->  ( D `  A
)  <_  ( D `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    ~~ cen 7098    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101    <_ cle 9113   #chash 11610
This theorem is referenced by:  derangen  24850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
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