Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangfmla Unicode version

Theorem derangfmla 23721
Description: The derangements formula, which expresses the number of derangements of a finite nonempty set in terms of the factorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derangfmla.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangfmla  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    x, D, y
Allowed substitution hint:    D( f)

Proof of Theorem derangfmla
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 derangfmla.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
2 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
32fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( D `  ( 1 ... n ) )  =  ( D `  (
1 ... m ) ) )
43cbvmptv 4111 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) )  =  ( m  e. 
NN0  |->  ( D `  ( 1 ... m
) ) )
51, 4derangen2 23705 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) ) )
7 hashnncl 11354 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
87biimpar 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
91, 4subfacval3 23720 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( D `
 ( 1 ... n ) ) ) `
 ( # `  A
) )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `  ( # `
 A ) )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( |_ `  (
( ( ! `  ( # `  A ) )  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
116, 10eqtrd 2315 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( D `  A )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 ( # `  A
) )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   |_cfl 10924   !cfa 11288   #chash 11337   _eceu 12344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350
  Copyright terms: Public domain W3C validator