Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Unicode version

Theorem deranglem 23712
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, f
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 7168 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  A
)  e.  Fin )
2 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  f : A
--> A )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f : A
--> A )
4 elmapg 6801 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
f : A --> A ) )
53, 4syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3260 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )
7 ssfi 7099 . . 3  |-  ( ( ( A  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
98anidms 626 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   {cab 2282    C_ wss 3165   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879
This theorem is referenced by:  derangf  23714  derangenlem  23717  subfaclefac  23722  subfacp1lem3  23728  subfacp1lem5  23730  subfacp1lem6  23731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator