Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deranglem Unicode version

Theorem deranglem 24633
Description: Lemma for derangements. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
deranglem  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, f
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem deranglem
StepHypRef Expression
1 mapfi 7340 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  A
)  e.  Fin )
2 f1of 5616 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  f : A
--> A )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f : A
--> A )
4 elmapg 6969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
f : A --> A ) )
53, 4syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph )  ->  f  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3362 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )
7 ssfi 7267 . . 3  |-  ( ( ( A  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  C_  ( A  ^m  A ) )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
98anidms 627 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  ( f : A -1-1-onto-> A  /\  ph ) }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   {cab 2375    C_ wss 3265   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395  (class class class)co 6022    ^m cmap 6956   Fincfn 7047
This theorem is referenced by:  derangf  24635  derangenlem  24638  subfaclefac  24643  subfacp1lem3  24649  subfacp1lem5  24651  subfacp1lem6  24652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051
  Copyright terms: Public domain W3C validator