Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Unicode version

Theorem derangsn 23701
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, V
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    V( x, y)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 6941 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
2 derang.d . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
32derangval 23698 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
41, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( D `
 { A }
)  =  ( # `  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )
5 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  f : { A } --> { A } )
65adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f : { A } --> { A } )
7 snidg 3665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
8 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
--> { A }  /\  A  e.  { A } )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
96, 7, 8syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
10 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y )
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
f `  y )  =  ( f `  A ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
1311, 12neeq12d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  A )  =/=  A
) )
1413rspcva 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  A. y  e. 
{ A }  (
f `  y )  =/=  y )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
157, 10, 14syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
16 elsni 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  A )  e.  { A }  ->  ( f `  A
)  =  A )
1716necon3ai 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  A )  =/=  A  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
1815, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
199, 18pm2.65i 165 . . . . . . . 8  |-  -.  ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )
2019pm2.21i 123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  f  e.  (/) )
2120ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f  e.  (/) ) )
2221abssdv 3247 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  (/) )
23 ss0 3485 . . . . 5  |-  ( { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y ) }  C_  (/) 
->  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2524fveq2d 5529 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )  =  ( # `  (/) ) )
264, 25syl5eq 2327 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  (/) ) )
27 hash0 11355 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2826, 27syl6eq 2331 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Fincfn 6863   0cc0 8737   #chash 11337
This theorem is referenced by:  subfac1  23709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator