Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Unicode version

Theorem derangsn 23716
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, V
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    V( x, y)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 6957 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
2 derang.d . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
32derangval 23713 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
41, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( D `
 { A }
)  =  ( # `  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )
5 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  f : { A } --> { A } )
65adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f : { A } --> { A } )
7 snidg 3678 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
8 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
--> { A }  /\  A  e.  { A } )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
96, 7, 8syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
10 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  (
f `  y )  =  ( f `  A ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
1311, 12neeq12d 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  A )  =/=  A
) )
1413rspcva 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  A. y  e. 
{ A }  (
f `  y )  =/=  y )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
157, 10, 14syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
16 elsni 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  A )  e.  { A }  ->  ( f `  A
)  =  A )
1716necon3ai 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  A )  =/=  A  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
1815, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
199, 18pm2.65i 165 . . . . . . . 8  |-  -.  ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )
2019pm2.21i 123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  f  e.  (/) )
2120ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f  e.  (/) ) )
2221abssdv 3260 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  (/) )
23 ss0 3498 . . . . 5  |-  ( { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y ) }  C_  (/) 
->  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2524fveq2d 5545 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )  =  ( # `  (/) ) )
264, 25syl5eq 2340 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  (/) ) )
27 hash0 11371 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2826, 27syl6eq 2344 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Fincfn 6879   0cc0 8753   #chash 11353
This theorem is referenced by:  subfac1  23724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator