Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Unicode version

Theorem derangsn 24848
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
Assertion
Ref Expression
derangsn  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    f, V
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    V( x, y)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 7179 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
2 derang.d . . . . 5  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
32derangval 24845 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
41, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( D `
 { A }
)  =  ( # `  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )
5 f1of 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  ->  f : { A } --> { A } )
65adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f : { A } --> { A } )
7 snidg 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
8 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : { A }
--> { A }  /\  A  e.  { A } )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
96, 7, 8syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  e.  { A } )
10 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y )
11 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  (
f `  y )  =  ( f `  A ) )
12 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  y  =  A )
1311, 12neeq12d 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
( f `  y
)  =/=  y  <->  ( f `  A )  =/=  A
) )
1413rspcva 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  A. y  e. 
{ A }  (
f `  y )  =/=  y )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
157, 10, 14syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  (
f `  A )  =/=  A )
16 elsni 3830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  A )  e.  { A }  ->  ( f `  A
)  =  A )
1716necon3ai 2638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  A )  =/=  A  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
1815, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  -.  ( f `  A
)  e.  { A } )
199, 18pm2.21dd 101 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) )  ->  f  e.  (/) )
2019ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
)  ->  f  e.  (/) ) )
2120abssdv 3409 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  C_  (/) )
22 ss0 3650 . . . . 5  |-  ( { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  (
f `  y )  =/=  y ) }  C_  (/) 
->  { f  |  ( f : { A }
-1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) }  =  (/) )
2423fveq2d 5724 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { f  |  ( f : { A } -1-1-onto-> { A }  /\  A. y  e.  { A }  ( f `  y )  =/=  y
) } )  =  ( # `  (/) ) )
254, 24syl5eq 2479 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  (
# `  (/) ) )
26 hash0 11638 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
2725, 26syl6eq 2483 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( D `  { A } )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   Fincfn 7101   0cc0 8982   #chash 11610
This theorem is referenced by:  subfac1  24856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator