Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deref Unicode version

Theorem deref 25391
Description: An idiom to "dereflexivate" a relation. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.)
Assertion
Ref Expression
deref  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A ( C  \  _I  ) A )

Proof of Theorem deref
StepHypRef Expression
1 ididg 4853 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  A  _I  A )
2 df-br 4040 . . . . . 6  |-  ( A  _I  A  <->  <. A ,  A >.  e.  _I  )
31, 2sylib 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  <. A ,  A >.  e.  _I  )
4 notnot 282 . . . . 5  |-  ( <. A ,  A >.  e.  _I  <->  -.  -.  <. A ,  A >.  e.  _I  )
53, 4sylib 188 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  -.  -.  <. A ,  A >.  e.  _I  )
65intnand 882 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  -.  ( <. A ,  A >.  e.  C  /\  -.  <. A ,  A >.  e.  _I  ) )
7 eldif 3175 . . 3  |-  ( <. A ,  A >.  e.  ( C  \  _I  ) 
<->  ( <. A ,  A >.  e.  C  /\  -.  <. A ,  A >.  e.  _I  ) )
86, 7sylnibr 296 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  -.  <. A ,  A >.  e.  ( C  \  _I  ) )
9 df-br 4040 . 2  |-  ( A ( C  \  _I  ) A  <->  <. A ,  A >.  e.  ( C  \  _I  ) )
108, 9sylnibr 296 1  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A ( C  \  _I  ) A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    \ cdif 3162   <.cop 3656   class class class wbr 4039    _I cid 4320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712
  Copyright terms: Public domain W3C validator