MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac10c Unicode version

Theorem dfac10c 7982
Description: Axiom of Choice equivalent: every set is equinumerous to an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac10c  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y  e.  On  y  ~~  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfac10c
StepHypRef Expression
1 dfac10 7981 . 2  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
2 eqv 3611 . 2  |-  ( dom 
card  =  _V  <->  A. x  x  e.  dom  card )
3 isnum2 7796 . . 3  |-  ( x  e.  dom  card  <->  E. y  e.  On  y  ~~  x
)
43albii 1572 . 2  |-  ( A. x  x  e.  dom  card  <->  A. x E. y  e.  On  y  ~~  x
)
51, 2, 43bitri 263 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y  e.  On  y  ~~  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180   Oncon0 4549   dom cdm 4845    ~~ cen 7073   cardccrd 7786  CHOICEwac 7960
This theorem is referenced by:  dfac10b  7983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6516  df-recs 6600  df-en 7077  df-card 7790  df-ac 7961
  Copyright terms: Public domain W3C validator