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Theorem dfac12lem1 7769
Description: Lemma for dfac12 7775. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
dfac12.5  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
dfac12.h  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    x, G, y    ph, y    x, F, y    y, H
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    H( x)

Proof of Theorem dfac12lem1
StepHypRef Expression
1 dfac12.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  On )
2 dfac12.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
32tfr2 6414 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( G `  C )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) ) )
52tfr1 6413 . . . . 5  |-  G  Fn  On
6 fnfun 5341 . . . . 5  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
75, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  Fun  G
8 resfunexg 5737 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  C  e.  On )  ->  ( G  |`  C )  e. 
_V )
97, 1, 8sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  e.  _V )
10 dmeq 4879 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  dom  x  =  dom  ( G  |`  C ) )
1110fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( R1 `  dom  x )  =  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) )
1210unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. dom  x  =  U. dom  ( G  |`  C ) )
1310, 12eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( dom  x  =  U. dom  x 
<->  dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
14 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ran  ( G  |`  C ) )
15 df-ima 4702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G
" C )  =  ran  ( G  |`  C )
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  x  =  ( G " C ) )
1716unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  x  =  U. ( G " C ) )
1817rneqd 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  U.
ran  x  =  ran  U. ( G " C
) )
1918unieqd 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  U. ran  U.
ran  x  =  U. ran  U. ( G " C ) )
20 suceq 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  x  = 
U. ran  U. ( G " C )  ->  suc  U. ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C
) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  suc  U.
ran  U. ran  x  =  suc  U. ran  U. ( G " C ) )
2221oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y
) )  =  ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) ) )
23 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  suc  ( rank `  y ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) )
2423fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( x `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )
2522, 24oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) )
26 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  x  =  ( G  |`  C ) )
2726, 12fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
x `  U. dom  x
)  =  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
2827rneqd 4906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )
29 oieq2 7228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( x `  U. dom  x )  =  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  = OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3130cnveqd 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
x `  U. dom  x
) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3231, 27coeq12d 4848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) )
3332imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y )  =  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )
3433fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) )  =  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )
3513, 25, 34ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) )  =  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
3611, 35mpteq12dv 4098 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  |`  C )  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
37 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) )
38 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( R1
`  dom  ( G  |`  C ) )  e. 
_V
3938mptex 5746 . . . 4  |-  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  e. 
_V
4036, 37, 39fvmpt 5602 . . 3  |-  ( ( G  |`  C )  e.  _V  ->  ( (
x  e.  _V  |->  ( y  e.  ( R1
`  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y )
)  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y ) ) `
 y ) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `
 U. dom  x
) )  o.  (
x `  U. dom  x
) ) " y
) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
419, 40syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) `  ( G  |`  C ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
42 onss 4582 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  C  C_  On )
431, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  C_  On )
44 fnssres 5357 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  On  /\  C  C_  On )  -> 
( G  |`  C )  Fn  C )
455, 43, 44sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  |`  C )  Fn  C )
46 fndm 5343 . . . . . 6  |-  ( ( G  |`  C )  Fn  C  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4745, 46syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
4847fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  =  ( R1
`  C ) )
49 mpteq1 4100 . . . 4  |-  ( ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) )  =  ( R1 `  C )  ->  (
y  e.  ( R1
`  dom  ( G  |`  C ) )  |->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
5048, 49syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) ) )
5147adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  dom  ( G  |`  C )  =  C )
5251unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  = 
U. C )
5351, 52eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C )  <->  C  =  U. C ) )
5453ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
55 rankr1ai 7470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( R1 `  C )  ->  ( rank `  y )  e.  C )
5655ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  C )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  C  =  U. C )
5856, 57eleqtrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( rank `  y )  e.  U. C )
59 eloni 4402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
60 ordsucuniel 4615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
C  ->  ( ( rank `  y )  e. 
U. C  <->  suc  ( rank `  y )  e.  C
) )
611, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  U. C  <->  suc  ( rank `  y
)  e.  C ) )
6358, 62mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  ->  suc  ( rank `  y
)  e.  C )
64 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( rank `  y
)  e.  C  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) )
6665fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )  =  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) )
6766oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  C  =  U. C )  -> 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) )  =  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) )
6867ifeq1da 3590 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )
6952adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. dom  ( G  |`  C )  =  U. C )
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( ( G  |`  C ) `  U. C ) )
711ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  e.  On )
72 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  On  ->  U. C  e.  _V )
73 sucidg 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. C  e.  _V  ->  U. C  e.  suc  U. C )
7471, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  suc  U. C )
751adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  C  e.  On )
76 orduniorsuc 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
C  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7775, 59, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  ( C  =  U. C  \/  C  =  suc  U. C ) )
7877orcanai 879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  C  =  suc  U. C )
7974, 78eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  U. C  e.  C
)
80 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. C  e.  C  ->  ( ( G  |`  C ) `
 U. C )  =  ( G `  U. C ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. C )  =  ( G `  U. C
) )
8270, 81eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ( G `
 U. C ) )
8382rneqd 4906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C ) )
84 oieq2 7228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) )  =  ran  ( G `  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  -> OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  = OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) ) )
8685cnveqd 4857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C ) ) )
8786, 82coeq12d 4848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `  U. C
) )  o.  ( G `  U. C ) ) )
88 dfac12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( G `
 U. C ) )  o.  ( G `
 U. C ) )
8987, 88syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  =  H )
9089imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y )  =  ( H "
y ) )
9190fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( R1 `  C
) )  /\  -.  C  =  U. C )  ->  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y
) )  =  ( F `  ( H
" y ) ) )
9291ifeq2da 3591 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( C  =  U. C , 
( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `
 suc  ( rank `  y ) ) `  y ) ) ,  ( F `  (
( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9354, 68, 923eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( R1 `  C ) )  ->  if ( dom  ( G  |`  C )  =  U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) )  =  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) )
9493mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
9550, 94eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( R1 `  dom  ( G  |`  C ) ) 
|->  if ( dom  ( G  |`  C )  = 
U. dom  ( G  |`  C ) ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( ( G  |`  C ) `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( ( G  |`  C ) `  U. dom  ( G  |`  C ) ) )  o.  (
( G  |`  C ) `
 U. dom  ( G  |`  C ) ) ) " y ) ) ) )  =  ( y  e.  ( R1 `  C ) 
|->  if ( C  = 
U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G " C
)  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( G `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( H
" y ) ) ) ) )
964, 41, 953eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  =  ( y  e.  ( R1 `  C )  |->  if ( C  =  U. C ,  ( ( suc  U. ran  U. ( G
" C )  .o  ( rank `  y
) )  +o  (
( G `  suc  ( rank `  y )
) `  y )
) ,  ( F `
 ( H "
y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  recscrecs 6387    +o coa 6476    .o comu 6477  OrdIsocoi 7224  harchar 7270   R1cr1 7434   rankcrnk 7435
This theorem is referenced by:  dfac12lem2  7770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oi 7225  df-r1 7436  df-rank 7437
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