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Theorem dfac12lem3 7771
Description: Lemma for dfac12 7775. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem3  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, G    ph, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)

Proof of Theorem dfac12lem3
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . 4  |-  ( G `
 A )  e. 
_V
21rnex 4942 . . 3  |-  ran  ( G `  A )  e.  _V
3 ssid 3197 . . . . 5  |-  A  C_  A
4 dfac12.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
5 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  A  <->  n  C_  A
) )
6 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( G `  m )  =  ( G `  n ) )
7 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  n )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n
) )
10 f1eq2 5433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
128, 11bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
135, 12imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
1413imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) ) ) )
15 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
m  C_  A  <->  A  C_  A
) )
16 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( G `  m )  =  ( G `  A ) )
17 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  A )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A
) )
20 f1eq2 5433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A )  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2218, 21bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2315, 22imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) ) )
2423imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) ) ) )
25 r19.21v 2630 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
26 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  On  ->  Ord  m )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  ->  Ord  m )
28 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  m  /\  n  e.  m )  ->  n  C_  m )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  m
)
30 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  m  C_  A
)
3129, 30sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  A
)
32 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  A  ->  (
( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) 
<->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  ( (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  <-> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3433ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  <->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )
354ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A  e.  On )
36 dfac12.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) )
-1-1-> On )
38 dfac12.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  e.  On )
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )  =  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )
41 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  C_  A )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( G `  n )  =  ( G `  z ) )
44 f1eq1 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  n )  =  ( G `  z )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z
) )
47 f1eq2 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4945, 48bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
5049cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On  <->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5142, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5235, 37, 38, 39, 40, 41, 51dfac12lem2 7770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On )
5352ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) )
5434, 53sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
5554expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( m 
C_  A  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5655com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( A. n  e.  m  (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  ->  ( m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5756expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  (
m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5857a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5925, 58syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  On  ->  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
6014, 24, 59tfis3 4648 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A )
-1-1-> On ) ) )
614, 60mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) )
623, 61mpi 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On )
63 f1f 5437 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On )
64 frn 5395 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On  ->  ran  ( G `  A
)  C_  On )
6562, 63, 643syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  C_  On )
66 onssnum 7667 . . 3  |-  ( ( ran  ( G `  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( G `  A )  C_  On )  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
672, 65, 66sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
68 f1f1orn 5483 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A ) )
6962, 68syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )
)
70 fvex 5539 . . . 4  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
7170f1oen 6882 . . 3  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )  ->  ( R1 `  A )  ~~  ran  ( G `  A
) )
72 ennum 7580 . . 3  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  ran  ( G `  A )  ->  (
( R1 `  A
)  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
)
7369, 71, 723syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R1 `  A )  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A
)  e.  dom  card ) )
7467, 73mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  recscrecs 6387    +o coa 6476    .o comu 6477    ~~ cen 6860  OrdIsocoi 7224  harchar 7270   R1cr1 7434   rankcrnk 7435   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  dfac12r  7772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-oi 7225  df-har 7272  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572
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