MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac12lem3 Structured version   Unicode version

Theorem dfac12lem3 8027
Description: Lemma for dfac12 8031. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem3  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, G    ph, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)

Proof of Theorem dfac12lem3
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5744 . . . 4  |-  ( G `
 A )  e. 
_V
21rnex 5135 . . 3  |-  ran  ( G `  A )  e.  _V
3 ssid 3369 . . . . 5  |-  A  C_  A
4 dfac12.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
5 sseq1 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  A  <->  n  C_  A
) )
6 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( G `  m )  =  ( G `  n ) )
7 f1eq1 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  n )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
9 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n
) )
10 f1eq2 5637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
128, 11bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
135, 12imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
1413imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) ) ) )
15 sseq1 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
m  C_  A  <->  A  C_  A
) )
16 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( G `  m )  =  ( G `  A ) )
17 f1eq1 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  A )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A
) )
20 f1eq2 5637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A )  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2218, 21bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2315, 22imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) ) )
2423imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) ) ) )
25 r19.21v 2795 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
26 eloni 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  On  ->  Ord  m )
2726ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  ->  Ord  m )
28 ordelss 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  m  /\  n  e.  m )  ->  n  C_  m )
2927, 28sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  m
)
30 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  m  C_  A
)
3129, 30sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  A
)
32 pm5.5 328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  A  ->  (
( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) 
<->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  ( (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  <-> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3433ralbidva 2723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  <->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )
354ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A  e.  On )
36 dfac12.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
3736ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) )
-1-1-> On )
38 dfac12.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
39 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  e.  On )
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )  =  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )
41 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  C_  A )
42 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )
43 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( G `  n )  =  ( G `  z ) )
44 f1eq1 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  n )  =  ( G `  z )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
46 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z
) )
47 f1eq2 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4945, 48bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
5049cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On  <->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5142, 50sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5235, 37, 38, 39, 40, 41, 51dfac12lem2 8026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On )
5352ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) )
5434, 53sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
5554expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( m 
C_  A  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5655com23 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( A. n  e.  m  (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  ->  ( m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5756expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  (
m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5857a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5925, 58syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  On  ->  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
6014, 24, 59tfis3 4839 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A )
-1-1-> On ) ) )
614, 60mpcom 35 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) )
623, 61mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On )
63 f1f 5641 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On )
64 frn 5599 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On  ->  ran  ( G `  A
)  C_  On )
6562, 63, 643syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  C_  On )
66 onssnum 7923 . . 3  |-  ( ( ran  ( G `  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( G `  A )  C_  On )  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
672, 65, 66sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
68 f1f1orn 5687 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A ) )
6962, 68syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )
)
70 fvex 5744 . . . 4  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
7170f1oen 7130 . . 3  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )  ->  ( R1 `  A )  ~~  ran  ( G `  A
) )
72 ennum 7836 . . 3  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  ran  ( G `  A )  ->  (
( R1 `  A
)  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
)
7369, 71, 723syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R1 `  A )  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A
)  e.  dom  card ) )
7467, 73mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    _E cep 4494   Ord word 4582   Oncon0 4583   suc csuc 4585   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083  recscrecs 6634    +o coa 6723    .o comu 6724    ~~ cen 7108  OrdIsocoi 7480  harchar 7526   R1cr1 7690   rankcrnk 7691   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  dfac12r  8028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-oi 7481  df-har 7528  df-r1 7692  df-rank 7693  df-card 7828
  Copyright terms: Public domain W3C validator