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Theorem dfac12lem3 7787
Description: Lemma for dfac12 7791. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac12.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
dfac12.3  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
dfac12.4  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac12lem3  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Distinct variable groups:    y, A    x, y, G    ph, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)

Proof of Theorem dfac12lem3
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . 4  |-  ( G `
 A )  e. 
_V
21rnex 4958 . . 3  |-  ran  ( G `  A )  e.  _V
3 ssid 3210 . . . . 5  |-  A  C_  A
4 dfac12.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
5 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  A  <->  n  C_  A
) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( G `  m )  =  ( G `  n ) )
7 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  n )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
9 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n
) )
10 f1eq2 5449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  n )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
128, 11bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
135, 12imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
1413imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) ) ) )
15 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
m  C_  A  <->  A  C_  A
) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( G `  m )  =  ( G `  A ) )
17 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  m )  =  ( G `  A )  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  A  ->  ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A
) )
20 f1eq2 5449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  m )  =  ( R1 `  A )  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  A
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2218, 21bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  A  ->  (
( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On  <->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) )
2315, 22imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  C_  A  ->  ( G `  m
) : ( R1
`  m ) -1-1-> On ) 
<->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) ) )
2423imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  (
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On ) ) ) )
25 r19.21v 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  <->  ( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) ) )
26 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  On  ->  Ord  m )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  ->  Ord  m )
28 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  m  /\  n  e.  m )  ->  n  C_  m )
2927, 28sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  m
)
30 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  m  C_  A
)
3129, 30sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  n  C_  A
)
32 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  A  ->  (
( n  C_  A  ->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) 
<->  ( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  n  e.  m
)  ->  ( (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  <-> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On ) )
3433ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  <->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )
354ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A  e.  On )
36 dfac12.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A
) ) -1-1-> On )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  F : ~P (har `  ( R1 `  A ) )
-1-1-> On )
38 dfac12.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  = recs ( ( x  e. 
_V  |->  ( y  e.  ( R1 `  dom  x )  |->  if ( dom  x  =  U. dom  x ,  ( ( suc  U. ran  U. ran  x  .o  ( rank `  y ) )  +o  ( ( x `  suc  ( rank `  y
) ) `  y
) ) ,  ( F `  ( ( `'OrdIso (  _E  ,  ran  ( x `  U. dom  x ) )  o.  ( x `  U. dom  x ) ) "
y ) ) ) ) ) )
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  e.  On )
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )  =  ( `'OrdIso
(  _E  ,  ran  ( G `  U. m
) )  o.  ( G `  U. m ) )
41 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  m  C_  A )
42 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( G `  n )  =  ( G `  z ) )
44 f1eq1 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  n )  =  ( G `  z )  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On ) )
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  z  ->  ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z
) )
47 f1eq2 5449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R1 `  n )  =  ( R1 `  z )  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  z
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
4945, 48bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  z  ->  (
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On  <->  ( G `  z ) : ( R1 `  z ) -1-1-> On ) )
5049cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On  <->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5142, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  A. z  e.  m  ( G `  z ) : ( R1 `  z )
-1-1-> On )
5235, 37, 38, 39, 40, 41, 51dfac12lem2 7786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  /\  A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On )
5352ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) )
5434, 53sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  On  /\  m  C_  A ) )  -> 
( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) )
5554expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( m 
C_  A  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  -> 
( G `  n
) : ( R1
`  n ) -1-1-> On )  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5655com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  On )  ->  ( A. n  e.  m  (
n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n ) -1-1-> On )  ->  ( m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m )
-1-1-> On ) ) )
5756expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On )  ->  (
m  C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5857a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. n  e.  m  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
5925, 58syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  On  ->  ( A. n  e.  m  ( ph  ->  ( n  C_  A  ->  ( G `  n ) : ( R1 `  n )
-1-1-> On ) )  -> 
( ph  ->  ( m 
C_  A  ->  ( G `  m ) : ( R1 `  m ) -1-1-> On ) ) ) )
6014, 24, 59tfis3 4664 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A )
-1-1-> On ) ) )
614, 60mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On ) )
623, 61mpi 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-> On )
63 f1f 5453 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On )
64 frn 5411 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) --> On  ->  ran  ( G `  A
)  C_  On )
6562, 63, 643syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  C_  On )
66 onssnum 7683 . . 3  |-  ( ( ran  ( G `  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( G `  A )  C_  On )  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
672, 65, 66sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
68 f1f1orn 5499 . . . 4  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-> On  ->  ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A ) )
6962, 68syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )
)
70 fvex 5555 . . . 4  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
7170f1oen 6898 . . 3  |-  ( ( G `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ran  ( G `  A )  ->  ( R1 `  A )  ~~  ran  ( G `  A
) )
72 ennum 7596 . . 3  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  ran  ( G `  A )  ->  (
( R1 `  A
)  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A )  e.  dom  card )
)
7369, 71, 723syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R1 `  A )  e.  dom  card  <->  ran  ( G `  A
)  e.  dom  card ) )
7467, 73mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( R1 `  A
)  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    _E cep 4319   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  recscrecs 6403    +o coa 6492    .o comu 6493    ~~ cen 6876  OrdIsocoi 7240  harchar 7286   R1cr1 7450   rankcrnk 7451   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  dfac12r  7788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-oi 7241  df-har 7288  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588
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