MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Unicode version

Theorem dfac13 7784
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 7782 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 652 . . . 4  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
41, 3syl5eleqr 2383 . . 3  |-  (CHOICE  ->  x  e. AC  x )
54alrimiv 1621 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x  x  e. AC  x )
6 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76pwex 4209 . . . . . . . 8  |-  ~P z  e.  _V
8 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  ->  x  =  ~P z
)
9 acneq 7686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  -> AC  x  = AC  ~P z )
108, 9eleq12d 2364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ~P z  -> 
( x  e. AC  x  <->  ~P z  e. AC 
~P z ) )
117, 10spcv 2887 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  ~P z  e. AC  ~P z
)
12 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
136canth2 7030 . . . . . . . . . 10  |-  z  ~<  ~P z
14 sdomdom 6905 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~<  ~P z  ->  z  ~<_  ~P z )
15 acndom2 7697 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  ~<_  ~P z  ->  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
) )
1613, 14, 15mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
)
17 acnnum 7695 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e. AC  ~P z  <->  z  e.  dom  card )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e.  dom  card )
19 numacn 7692 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  e.  dom  card  -> 
z  e. AC  y ) )
2012, 18, 19mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  y )
2111, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e. AC  y )
226a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e.  _V )
2321, 222thd 231 . . . . 5  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
( z  e. AC  y  <->  z  e.  _V ) )
2423eqrdv 2294 . . . 4  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> AC  y  =  _V )
2524alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  A. yAC  y  =  _V )
26 dfacacn 7783 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. yAC  y  =  _V )
2725, 26sylibr 203 . 2  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> CHOICE )
285, 27impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878   cardccrd 7584  AC wacn 7587  CHOICEwac 7758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator