MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Unicode version

Theorem dfac13 7768
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 7766 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 652 . . . 4  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
41, 3syl5eleqr 2370 . . 3  |-  (CHOICE  ->  x  e. AC  x )
54alrimiv 1617 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x  x  e. AC  x )
6 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
76pwex 4193 . . . . . . . 8  |-  ~P z  e.  _V
8 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  ->  x  =  ~P z
)
9 acneq 7670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ~P z  -> AC  x  = AC  ~P z )
108, 9eleq12d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ~P z  -> 
( x  e. AC  x  <->  ~P z  e. AC 
~P z ) )
117, 10spcv 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  ~P z  e. AC  ~P z
)
12 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
136canth2 7014 . . . . . . . . . 10  |-  z  ~<  ~P z
14 sdomdom 6889 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
~<  ~P z  ->  z  ~<_  ~P z )
15 acndom2 7681 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  ~<_  ~P z  ->  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
) )
1613, 14, 15mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  ~P z
)
17 acnnum 7679 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e. AC  ~P z  <->  z  e.  dom  card )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e.  dom  card )
19 numacn 7676 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  ->  (
z  e.  dom  card  -> 
z  e. AC  y ) )
2012, 18, 19mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ~P z  e. AC  ~P z  ->  z  e. AC  y )
2111, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e. AC  y )
226a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
z  e.  _V )
2321, 222thd 231 . . . . 5  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> 
( z  e. AC  y  <->  z  e.  _V ) )
2423eqrdv 2281 . . . 4  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> AC  y  =  _V )
2524alrimiv 1617 . . 3  |-  ( A. x  x  e. AC  x  ->  A. yAC  y  =  _V )
26 dfacacn 7767 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. yAC  y  =  _V )
2725, 26sylibr 203 . 2  |-  ( A. x  x  e. AC  x  -> CHOICE )
285, 27impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. x  x  e. AC  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   cardccrd 7568  AC wacn 7571  CHOICEwac 7742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator