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Theorem dfac14 17651
Description: Theorem ptcls 17649 is an equivalent of the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac14  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Distinct variable group:    f, k, s

Proof of Theorem dfac14
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  (
f `  k )  =  ( f `  x ) )
21unieqd 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  x ) )
32pweqd 3805 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( f `  k
)  =  ~P U. ( f `  x
) )
43cbvixpv 7081 . . . . . . 7  |-  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
)  =  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x
)
54eleq2i 2501 . . . . . 6  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `  x ) )
6 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f : dom  f
--> Top )
76feqmptd 5780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  f  =  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
87fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( Xt_ `  f
)  =  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) ) )
98fveq2d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( k  e. 
dom  f  |->  ( f `
 k ) ) ) ) )
109fveq1d 5731 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) ) )
11 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( k  e.  dom  f  |->  ( f `  k ) ) )  =  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) )
12 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
1312dmex 5133 . . . . . . . . 9  |-  dom  f  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  dom  f  e.  _V )
156ffvelrnda 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  Top )
16 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
f `  k )  =  U. ( f `  k )
1716toptopon 16999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  k )  e.  Top  <->  ( f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `  k ) ) )
1815, 17sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
f `  k )  e.  (TopOn `  U. ( f `
 k ) ) )
19 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P
U. ( f `  x ) )
2019, 5sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) )
21 vex 2960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2221elixp 7070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  <->  ( s  Fn  dom  f  /\  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. (
f `  k )
) )
2322simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  A. k  e.  dom  f ( s `  k )  e.  ~P U. ( f `  k
) )
2524r19.21bi 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  e.  ~P U. ( f `
 k ) )
2625elpwid 3809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  /\  k  e.  dom  f )  ->  (
s `  k )  C_ 
U. ( f `  k ) )
27 fvex 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( s `
 k )  e. 
_V
2813, 27iunex 5992 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  dom  f ( s `
 k )  e. 
_V
29 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> CHOICE
)
30 acacni 8021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (CHOICE  /\  dom  f  e.  _V )  -> AC  dom  f  =  _V )
3129, 13, 30sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  -> AC  dom  f  =  _V )
3228, 31syl5eleqr 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  U_ k  e.  dom  f ( s `  k )  e. AC  dom  f
)
3311, 14, 18, 26, 32ptclsg 17648 . . . . . . 7  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
k  e.  dom  f  |->  ( f `  k
) ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3410, 33eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ x  e.  dom  f ~P U. ( f `
 x ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
355, 34sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( (CHOICE 
/\  f : dom  f
--> Top )  /\  s  e.  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) )  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3635ralrimiva 2790 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Top )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
3736ex 425 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) ) )
3837alrimiv 1642 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
39 vex 2960 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
4039dmex 5133 . . . . . . 7  |-  dom  g  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  dom  g  e.  _V )
42 fvex 5743 . . . . . . 7  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  _V )
44 simplrr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (/) 
e/  ran  g )
45 df-nel 2603 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4644, 45sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/)  e.  ran  g
)
47 funforn 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  g  <->  g : dom  g -onto-> ran  g )
48 fof 5654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : dom  g -onto-> ran  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
4947, 48sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  g  ->  g : dom  g --> ran  g )
5049ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g : dom  g --> ran  g
)
5150ffvelrnda 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
52 eleq1 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
5351, 52syl5ibcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( ( g `  x )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ran  g ) )
5453necon3bd 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x )  =/=  (/) ) )
5546, 54mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  =/=  (/) )
56 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  x
)
57 eqid 2437 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }
58 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) )
59 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  Fun  g )
60 funfn 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  g  <->  g  Fn  dom  g )
6159, 60sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  Fn  dom  g )
62 ssun1 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 k )  C_  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )
63 fvex 5743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 k )  e. 
_V
6463elpw 3806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  ( g `  k )  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
6562, 64mpbir 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6665rgenw 2774 . . . . . . . . 9  |-  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )
6766a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. k  e.  dom  g ( g `
 k )  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
6839elixp 7070 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  <->  ( g  Fn  dom  g  /\  A. k  e.  dom  g ( g `  k )  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) )
6961, 67, 68sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
70 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
71 snex 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  e.  _V
7242, 71unex 4708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
73 ssun2 3512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P U. ( g `  x
) }  C_  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
7442uniex 4706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. (
g `  x )  e.  _V
7574pwex 4383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  _V
7675snid 3842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  { ~P U. ( g `  x
) }
7773, 76sselii 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )
78 epttop 17074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  x
)  e.  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
7972, 77, 78mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
8079topontopi 16997 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  Top
8180a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  /\  x  e.  dom  g )  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) }  e.  Top )
82 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
8381, 82fmptd 5894 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top )
8440mptex 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  e. 
_V
85 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
86 dmeq 5071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
8772pwex 4383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  e. 
_V
8887rabex 4355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  e.  _V
8988, 82dmmpti 5575 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } )  =  dom  g
9086, 89syl6eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  dom  f  =  dom  g )
9185, 90feq12d 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f : dom  f
--> Top  <->  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top )
)
9290ixpeq1d 7075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P
U. ( f `  k ) )
93 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  k
) )
94 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  (
g `  x )  =  ( g `  k ) )
9594unieqd 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  k  ->  U. (
g `  x )  =  U. ( g `  k ) )
9695pweqd 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  k  ->  ~P U. ( g `  x
)  =  ~P U. ( g `  k
) )
9796sneqd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  k  ->  { ~P U. ( g `  x
) }  =  { ~P U. ( g `  k ) } )
9894, 97uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
9998pweqd 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  =  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
10096eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  ( ~P U. ( g `  x )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  k )  e.  y ) )
10198eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  k  ->  (
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  <->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
102100, 101imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  (
( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) ) )
10399, 102rabeqbidv 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  k  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
104 snex 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  e.  _V
10563, 104unex 4708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
106105pwex 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  e. 
_V
107106rabex 4355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  _V
108103, 82, 107fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  g  -> 
( ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
10993, 108sylan9eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( f `  k )  =  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )
110109unieqd 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  U. { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } )
111 ssun2 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ~P U. ( g `  k
) }  C_  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
11263uniex 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. (
g `  k )  e.  _V
113112pwex 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  _V
114113snid 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  { ~P U. ( g `  k
) }
115111, 114sselii 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )
116 epttop 17074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  e.  _V  /\  ~P U. ( g `  k
)  e.  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )  ->  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) )
117105, 115, 116mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  e.  (TopOn `  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
118117toponunii 16998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  = 
U. { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }
119110, 118syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  U. ( f `  k )  =  ( ( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) )
120119pweqd 3805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ~P U. (
f `  k )  =  ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) )
121120ixpeq2dva 7078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
12292, 121eqtrd 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k )  =  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )
123 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) )
124123fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( cls `  ( Xt_ `  f ) )  =  ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) )
12590ixpeq1d 7075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
)  =  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )
126124, 125fveq12d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) ) )
12790ixpeq1d 7075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )
128109fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( cls `  (
f `  k )
)  =  ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) )
129128fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  /\  k  e.  dom  g )  ->  ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  =  ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) ) )
130129ixpeq2dva 7078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  g
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
131127, 130eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  ->  X_ k  e.  dom  f
( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
132126, 131eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ k  e.  dom  g ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
133122, 132raleqbidv 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
)  <->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13491, 133imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )  -> 
( ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  <->  ( (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) : dom  g
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) ) )
13584, 134spcv 3043 . . . . . . . 8  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) : dom  g --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) ) )
13670, 83, 135sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  { y  e. 
~P ( ( g `
 x )  u. 
{ ~P U. (
g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
) )
137 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  g  ->  (
s `  k )  =  ( g `  k ) )
138137ixpeq2dv 7079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ k  e.  dom  g ( g `  k ) )
139 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
g `  k )  =  ( g `  x ) )
140139cbvixpv 7081 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  dom  g ( g `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )
141138, 140syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k )  = 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )
142141fveq2d 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) ) )
143137fveq2d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  g  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
144143ixpeq2dv 7079 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) ) )
145139unieqd 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  U. (
g `  k )  =  U. ( g `  x ) )
146145pweqd 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  ~P U. ( g `  k
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
147146sneqd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  x  ->  { ~P U. ( g `  k
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
148139, 147uneq12d 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) )
149148pweqd 3805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  =  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) )
150146eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  ( ~P U. ( g `  k )  e.  y  <->  ~P U. ( g `  x )  e.  y ) )
151148eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  x  ->  (
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  <->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) )
152150, 151imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) )  <->  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) ) )
153149, 152rabeqbidv 2952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) }  =  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } )
154153fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  ( cls `  { y  e. 
~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `
 k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } )  =  ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) )
155154, 139fveq12d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
156155cbvixpv 7081 . . . . . . . . . 10  |-  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( g `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) )
157144, 156syl6eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  g  ->  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } )  |  ( ~P U. (
g `  k )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } ) ) } ) `  ( s `  k
) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  {
y  e.  ~P (
( g `  x
)  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) `  ( g `  x
) ) )
158142, 157eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  g  ->  (
( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  <->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
159158rspcv 3049 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ k  e.  dom  g ~P ( ( g `
 k )  u. 
{ ~P U. (
g `  k ) } )  ->  ( A. s  e.  X_  k  e.  dom  g ~P (
( g `  k
)  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ( ( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ k  e.  dom  g ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k ) } )  |  ( ~P U. ( g `  k
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  k )  u.  { ~P U. ( g `  k
) } ) ) } ) `  (
s `  k )
)  ->  ( ( cls `  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) ) ) `
 X_ x  e.  dom  g ( g `  x ) )  = 
X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) ) )
16069, 136, 159sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  (
( cls `  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } )  |  ( ~P U. (
g `  x )  e.  y  ->  y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } ) ) } ) ) ) `  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x ) )  =  X_ x  e.  dom  g ( ( cls `  { y  e.  ~P ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x ) } )  |  ( ~P U. ( g `  x
)  e.  y  -> 
y  =  ( ( g `  x )  u.  { ~P U. ( g `  x
) } ) ) } ) `  (
g `  x )
) )
16141, 43, 55, 56, 57, 58, 160dfac14lem 17650 . . . . 5  |-  ( ( A. f ( f : dom  f --> Top 
->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P
U. ( f `  k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `  X_ k  e.  dom  f
( s `  k
) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  (
f `  k )
) `  ( s `  k ) ) )  /\  ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
) )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
162161ex 425 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
163162alrimiv 1642 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
164 dfac9 8017 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
165163, 164sylibr 205 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `  k
) ( ( cls `  ( Xt_ `  f
) ) `  X_ k  e.  dom  f ( s `
 k ) )  =  X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) )  -> CHOICE )
16638, 165impbii 182 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Top  ->  A. s  e.  X_  k  e.  dom  f ~P U. ( f `
 k ) ( ( cls `  ( Xt_ `  f ) ) `
 X_ k  e.  dom  f ( s `  k ) )  = 
X_ k  e.  dom  f ( ( cls `  ( f `  k
) ) `  (
s `  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    e/ wnel 2601   A.wral 2706   {crab 2710   _Vcvv 2957    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ~Pcpw 3800   {csn 3815   U.cuni 4016   U_ciun 4094    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   ran crn 4880   Fun wfun 5449    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -onto->wfo 5453   ` cfv 5455   X_cixp 7064  AC wacn 7826  CHOICEwac 7997   Xt_cpt 13667   Topctop 16959  TopOnctopon 16960   clsccl 17083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-card 7827  df-acn 7830  df-ac 7998  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086
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