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Theorem dfac14lem 17641
Description: Lemma for dfac14 17642. By equipping  S  u.  { P } for some  P  e/  S with the particular point topology, we can show that  P is in the closure of  S; hence the sequence  P ( x ) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 17640 to extract an element of the closure of  X_ k  e.  I S. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
dfac14lem.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
dfac14lem.0  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
dfac14lem.p  |-  P  =  ~P U. S
dfac14lem.r  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
dfac14lem.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
dfac14lem.c  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
Assertion
Ref Expression
dfac14lem  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, I    y, P    ph, x    y, S
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( x)    R( x, y)    S( x)    I( y)    J( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
2 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( S  u.  { P }
)  <->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )
31, 2imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) )  <->  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) ) )
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
53, 4elrab2 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  R  <->  ( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P }
) ) ) )
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  S  =/=  (/) )
8 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
) )
9 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  C_  ( S  u.  { P } )
10 dfss1 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  ( S  u.  { P } )  <->  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S )
119, 10mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S
128, 11syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  S )
1312neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( ( z  i^i 
S )  =/=  (/)  <->  S  =/=  (/) ) )
147, 13syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( z  =  ( S  u.  { P } )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1514imim2d 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
1615expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
175, 16syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  R  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
1817ralrimiv 2780 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
20 snex 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  e.  _V
21 unexg 4702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  { P }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { P } )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  e.  _V )
23 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  C_  ( S  u.  { P } )
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ~P U. S
25 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
26 pwexg 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
2824, 27syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  _V )
29 snidg 3831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  _V  ->  P  e.  { P } )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  { P } )
3123, 30sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( S  u.  { P } ) )
32 epttop 17065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  { P } )  e.  _V  /\  P  e.  ( S  u.  { P }
) )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
3322, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
344, 33syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
35 topontop 16983 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  ->  R  e.  Top )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Top )
37 toponuni 16984 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  -> 
( S  u.  { P } )  =  U. R )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  =  U. R )
399, 38syl5sseq 3388 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. R )
4031, 38eleqtrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  U. R )
41 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. R  =  U. R
4241elcls 17129 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  P  e.  U. R )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4336, 39, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R ) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4418, 43mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )
)
4544ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S ) )
46 dfac14lem.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
47 mptelixpg 7091 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4945, 48mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )
)
50 ne0i 3626 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  ->  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  =/=  (/) )
5149, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  =/=  (/) )
52 dfac14lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
5334ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
54 dfac14lem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
5554pttopon 17620 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I 
( S  u.  { P } ) ) )
5646, 53, 55syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) ) )
57 topontop 16983 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) )  ->  J  e.  Top )
58 cls0 17136 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
5956, 57, 583syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
6051, 52, 593netr4d 2625 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
61 fveq2 5720 . . 3  |-  ( X_ x  e.  I  S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  X_ x  e.  I  S )  =  ( ( cls `  J ) `
 (/) ) )
6261necon3i 2637 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
6360, 62syl 16 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   ` cfv 5446   X_cixp 7055   Xt_cpt 13658   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   clsccl 17074
This theorem is referenced by:  dfac14  17642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077
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