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Theorem dfac14lem 17572
Description: Lemma for dfac14 17573. By equipping  S  u.  { P } for some  P  e/  S with the particular point topology, we can show that  P is in the closure of  S; hence the sequence  P ( x ) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 17571 to extract an element of the closure of  X_ k  e.  I S. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
dfac14lem.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
dfac14lem.0  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
dfac14lem.p  |-  P  =  ~P U. S
dfac14lem.r  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
dfac14lem.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
dfac14lem.c  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
Assertion
Ref Expression
dfac14lem  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, I    y, P    ph, x    y, S
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( x)    R( x, y)    S( x)    I( y)    J( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
2 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( S  u.  { P }
)  <->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )
31, 2imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) )  <->  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) ) )
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
53, 4elrab2 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  R  <->  ( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P }
) ) ) )
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  S  =/=  (/) )
8 ineq1 3480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
) )
9 ssun1 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  C_  ( S  u.  { P } )
10 dfss1 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  ( S  u.  { P } )  <->  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S )
119, 10mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S
128, 11syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  S )
1312neeq1d 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( ( z  i^i 
S )  =/=  (/)  <->  S  =/=  (/) ) )
147, 13syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( z  =  ( S  u.  { P } )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1514imim2d 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
1615expimpd 587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
175, 16syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  R  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
1817ralrimiv 2733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
20 snex 4348 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  e.  _V
21 unexg 4652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  { P }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { P } )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  e.  _V )
23 ssun2 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  C_  ( S  u.  { P } )
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ~P U. S
25 uniexg 4648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
26 pwexg 4326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
2824, 27syl5eqel 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  _V )
29 snidg 3784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  _V  ->  P  e.  { P } )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  { P } )
3123, 30sseldi 3291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( S  u.  { P } ) )
32 epttop 16998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  { P } )  e.  _V  /\  P  e.  ( S  u.  { P }
) )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
3322, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
344, 33syl5eqel 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
35 topontop 16916 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  ->  R  e.  Top )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Top )
37 toponuni 16917 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  -> 
( S  u.  { P } )  =  U. R )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  =  U. R )
399, 38syl5sseq 3341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. R )
4031, 38eleqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  U. R )
41 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  U. R  =  U. R
4241elcls 17062 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  P  e.  U. R )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4336, 39, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R ) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4418, 43mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )
)
4544ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S ) )
46 dfac14lem.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
47 mptelixpg 7037 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4846, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4945, 48mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )
)
50 ne0i 3579 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  ->  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  =/=  (/) )
5149, 50syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  =/=  (/) )
52 dfac14lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
5334ralrimiva 2734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
54 dfac14lem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
5554pttopon 17551 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I 
( S  u.  { P } ) ) )
5646, 53, 55syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) ) )
57 topontop 16916 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) )  ->  J  e.  Top )
58 cls0 17069 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
5956, 57, 583syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
6051, 52, 593netr4d 2579 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
61 fveq2 5670 . . 3  |-  ( X_ x  e.  I  S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  X_ x  e.  I  S )  =  ( ( cls `  J ) `
 (/) ) )
6261necon3i 2591 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
6360, 62syl 16 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   {crab 2655   _Vcvv 2901    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   U.cuni 3959    e. cmpt 4209   ` cfv 5396   X_cixp 7001   Xt_cpt 13595   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   clsccl 17007
This theorem is referenced by:  dfac14  17573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-ixp 7002  df-en 7048  df-fin 7051  df-fi 7353  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010
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