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Theorem dfac14lem 17327
Description: Lemma for dfac14 17328. By equipping  S  u.  { P } for some  P  e/  S with the particular point topology, we can show that  P is in the closure of  S; hence the sequence  P ( x ) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 17326 to extract an element of the closure of  X_ k  e.  I S. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
dfac14lem.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
dfac14lem.0  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
dfac14lem.p  |-  P  =  ~P U. S
dfac14lem.r  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
dfac14lem.j  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
dfac14lem.c  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
Assertion
Ref Expression
dfac14lem  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, I    y, P    ph, x    y, S
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( x)    R( x, y)    S( x)    I( y)    J( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
2 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( S  u.  { P }
)  <->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )
31, 2imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) )  <->  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) ) )
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  { y  e.  ~P ( S  u.  { P } )  |  ( P  e.  y  -> 
y  =  ( S  u.  { P }
) ) }
53, 4elrab2 2938 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  R  <->  ( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P }
) ) ) )
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
76adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  S  =/=  (/) )
8 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
) )
9 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  C_  ( S  u.  { P } )
10 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  ( S  u.  { P } )  <->  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S )
119, 10mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  u.  { P } )  i^i  S
)  =  S
128, 11syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( z  i^i  S
)  =  S )
1312neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S  u.  { P } )  -> 
( ( z  i^i 
S )  =/=  (/)  <->  S  =/=  (/) ) )
147, 13syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( z  =  ( S  u.  { P } )  ->  (
z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
1514imim2d 48 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  z  e.  ~P ( S  u.  { P } ) )  ->  ( ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
1615expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( z  e.  ~P ( S  u.  { P } )  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
175, 16syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
z  e.  R  -> 
( P  e.  z  ->  ( z  i^i 
S )  =/=  (/) ) ) )
1817ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) )
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  W )
20 snex 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  e.  _V
21 unexg 4537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  { P }  e.  _V )  ->  ( S  u.  { P } )  e. 
_V )
2219, 20, 21sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  e.  _V )
23 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  { P }  C_  ( S  u.  { P } )
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ~P U. S
25 uniexg 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
26 pwexg 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
2719, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
2824, 27syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  _V )
29 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  _V  ->  P  e.  { P } )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  { P } )
3123, 30sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( S  u.  { P } ) )
32 epttop 16762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  u.  { P } )  e.  _V  /\  P  e.  ( S  u.  { P }
) )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
3322, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { y  e.  ~P ( S  u.  { P }
)  |  ( P  e.  y  ->  y  =  ( S  u.  { P } ) ) }  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
344, 33syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
35 topontop 16680 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  ->  R  e.  Top )
3634, 35syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Top )
37 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) )  -> 
( S  u.  { P } )  =  U. R )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  u.  { P } )  =  U. R )
399, 38syl5sseq 3239 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. R )
4031, 38eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  U. R )
41 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. R  =  U. R
4241elcls 16826 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  C_  U. R  /\  P  e.  U. R )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  -> 
( z  i^i  S
)  =/=  (/) ) ) )
4336, 39, 40, 42syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  R ) `  S )  <->  A. z  e.  R  ( P  e.  z  ->  ( z  i^i  S )  =/=  (/) ) ) )
4418, 43mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  ( ( cls `  R
) `  S )
)
4544ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S ) )
46 dfac14lem.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
47 mptelixpg 6869 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4846, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  <->  A. x  e.  I  P  e.  ( ( cls `  R ) `  S
) ) )
4945, 48mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  (
( cls `  R
) `  S )
)
50 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  |->  P )  e.  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  ->  X_ x  e.  I  ( ( cls `  R ) `  S )  =/=  (/) )
5149, 50syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )  =/=  (/) )
52 dfac14lem.c . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  = 
X_ x  e.  I 
( ( cls `  R
) `  S )
)
5334ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )
54 dfac14lem.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  R ) )
5554pttopon 17307 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A. x  e.  I  R  e.  (TopOn `  ( S  u.  { P } ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I 
( S  u.  { P } ) ) )
5646, 53, 55syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) ) )
57 topontop 16680 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( S  u.  { P } ) )  ->  J  e.  Top )
58 cls0 16833 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
5956, 57, 583syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  (/) )  =  (/) )
6051, 52, 593netr4d 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) ) )
61 fveq2 5541 . . 3  |-  ( X_ x  e.  I  S  =  (/)  ->  ( ( cls `  J ) `  X_ x  e.  I  S )  =  ( ( cls `  J ) `
 (/) ) )
6261necon3i 2498 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X_ x  e.  I  S )  =/=  ( ( cls `  J
) `  (/) )  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
6360, 62syl 15 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Xt_cpt 13359   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  dfac14  17328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
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