Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac14lem Structured version   Unicode version

Theorem dfac14lem 17641
 Description: Lemma for dfac14 17642. By equipping for some with the particular point topology, we can show that is in the closure of ; hence the sequence is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 17640 to extract an element of the closure of . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i
dfac14lem.s
dfac14lem.0
dfac14lem.p
dfac14lem.r
dfac14lem.j
dfac14lem.c
Assertion
Ref Expression
dfac14lem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11
2 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11
31, 2imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10
53, 4elrab2 3086 . . . . . . . . 9
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13
76adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
8 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . 14
9 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 dfss1 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15
119, 10mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14
128, 11syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13
1312neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . 12
147, 13syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
1514imim2d 50 . . . . . . . . . 10
1615expimpd 587 . . . . . . . . 9
175, 16syl5bi 209 . . . . . . . 8
1817ralrimiv 2780 . . . . . . 7
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12
20 snex 4397 . . . . . . . . . . . 12
21 unexg 4702 . . . . . . . . . . . 12
2219, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
23 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . 12
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14
25 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 pwexg 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15
2719, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
2824, 27syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . 13
29 snidg 3831 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3123, 30sseldi 3338 . . . . . . . . . . 11
32 epttop 17065 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3322, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 TopOn
344, 33syl5eqel 2519 . . . . . . . . 9 TopOn
35 topontop 16983 . . . . . . . . 9 TopOn
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8
37 toponuni 16984 . . . . . . . . . 10 TopOn
3834, 37syl 16 . . . . . . . . 9
399, 38syl5sseq 3388 . . . . . . . 8
4031, 38eleqtrd 2511 . . . . . . . 8
41 eqid 2435 . . . . . . . . 9
4241elcls 17129 . . . . . . . 8
4336, 39, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7
4418, 43mpbird 224 . . . . . 6
4544ralrimiva 2781 . . . . 5
46 dfac14lem.i . . . . . 6
47 mptelixpg 7091 . . . . . 6
4846, 47syl 16 . . . . 5
4945, 48mpbird 224 . . . 4
50 ne0i 3626 . . . 4
5149, 50syl 16 . . 3
52 dfac14lem.c . . 3
5334ralrimiva 2781 . . . . 5 TopOn
54 dfac14lem.j . . . . . 6
5554pttopon 17620 . . . . 5 TopOn TopOn
5646, 53, 55syl2anc 643 . . . 4 TopOn
57 topontop 16983 . . . 4 TopOn
58 cls0 17136 . . . 4
5956, 57, 583syl 19 . . 3
6051, 52, 593netr4d 2625 . 2
61 fveq2 5720 . . 3
6261necon3i 2637 . 2
6360, 62syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806  cuni 4007   cmpt 4258  cfv 5446  cixp 7055  cpt 13658  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccl 17074 This theorem is referenced by:  dfac14  17642 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ixp 7056  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077
 Copyright terms: Public domain W3C validator