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Theorem dfac21 26670
Description: Tychonoff's theorem is a choice equivalent. Definition AC21 of Schechter p. 461. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac21  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem dfac21
Dummy variables  g 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2876 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
21dmex 5044 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  f  e. 
_V )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  f : dom  f --> Comp )
5 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  f )  e.  _V
65uniex 4619 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  f )  e. 
_V
7 acufl 17825 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> UFL  =  _V )
96, 8syl5eleqr 2453 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. UFL )
10 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> CHOICE )
11 dfac10 7910 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
1210, 11sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  card  =  _V )
136, 12syl5eleqr 2453 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. 
dom  card )
14 elin 3446 . . . . . 6  |-  ( U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  f )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  f
)  e.  dom  card ) )
159, 13, 14sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
)
16 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  f )  =  (
Xt_ `  f )
17 eqid 2366 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  f )  = 
U. ( Xt_ `  f
)
1816, 17ptcmpg 17964 . . . . 5  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\  f : dom  f --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL 
i^i  dom  card ) )  -> 
( Xt_ `  f )  e.  Comp )
193, 4, 15, 18syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp )
2019ex 423 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Comp  ->  ( Xt_ `  f
)  e.  Comp )
)
2120alrimiv 1636 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
22 fvex 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
23 kelac2lem 26668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  _V  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
2422, 23mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  y  e.  dom  g )  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
25 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) )
2624, 25fmptd 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp )
27 ffdm 5509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp  ->  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2928simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) --> Comp )
30 vex 2876 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
3130dmex 5044 . . . . . . . . 9  |-  dom  g  e.  _V
3231mptex 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  e. 
_V
33 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )
34 dmeq 4982 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  dom  f  =  dom  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )
3533, 34feq12d 5486 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
f : dom  f --> Comp  <-> 
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp ) )
36 fveq2 5632 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  ( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) ) )
3736eleq1d 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( Xt_ `  f )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3835, 37imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) 
<->  ( ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) : dom  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) --> Comp  ->  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp ) ) )
3932, 38spcv 2959 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp 
->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
4029, 39syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp ) )
41 fvex 5646 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
43 df-nel 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4443biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
4544ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
46 fvelrn 5768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  g  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  ran  g )
48 eleq1 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
4947, 48syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  g ) )
5049necon3bd 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) ) )
5145, 50mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
5251adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
53 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
5453unieqd 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  U. (
g `  y )  =  U. ( g `  x ) )
5554pweqd 3719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ~P U. ( g `  y
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
5655sneqd 3742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  { ~P U. ( g `  y
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
5753, 56preq12d 3806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y
) } }  =  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
)
5857fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  =  (
topGen `  { ( g `
 x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) )
5958cbvmptv 4213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  x
) ,  { ~P U. ( g `  x
) } } ) )
6059fveq2i 5635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  =  (
Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )
6160eleq1i 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6261biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6362adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )  e. 
Comp )
6442, 52, 63kelac2 26669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
6564ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6640, 65syld 40 . . . . 5  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6766com12 27 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
6867alrimiv 1636 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
69 dfac9 7909 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
7068, 69sylibr 203 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  -> CHOICE )
7121, 70impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1545    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    e/ wnel 2530   _Vcvv 2873    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   {csn 3729   {cpr 3730   U.cuni 3929    e. cmpt 4179   dom cdm 4792   ran crn 4793   Fun wfun 5352   -->wf 5354   ` cfv 5358   X_cixp 6960   cardccrd 7715  CHOICEwac 7889   topGenctg 13552   Xt_cpt 13553   Compccmp 17330  UFLcufl 17808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-rpss 6419  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-wdom 7420  df-card 7719  df-acn 7722  df-ac 7890  df-cda 7941  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cmp 17331  df-fil 17754  df-ufil 17809  df-ufl 17810  df-flim 17847  df-fcls 17849
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