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Theorem dfac21 27164
Description: Tychonoff's theorem is a choice equivalent. Definition AC21 of Schechter p. 461. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac21  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem dfac21
Dummy variables  g 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
21dmex 4941 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  f  e. 
_V )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  f : dom  f --> Comp )
5 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  f )  e.  _V
65uniex 4516 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  f )  e. 
_V
7 acufl 17612 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  -> UFL  =  _V )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> UFL  =  _V )
96, 8syl5eleqr 2370 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. UFL )
10 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  -> CHOICE )
11 dfac10 7763 . . . . . . . 8  |-  (CHOICE  <->  dom  card  =  _V )
1210, 11sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  dom  card  =  _V )
136, 12syl5eleqr 2370 . . . . . 6  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e. 
dom  card )
14 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )  <->  ( U. ( Xt_ `  f )  e. UFL  /\  U. ( Xt_ `  f
)  e.  dom  card ) )
159, 13, 14sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL  i^i  dom  card )
)
16 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  f )  =  (
Xt_ `  f )
17 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  f )  = 
U. ( Xt_ `  f
)
1816, 17ptcmpg 17751 . . . . 5  |-  ( ( dom  f  e.  _V  /\  f : dom  f --> Comp  /\  U. ( Xt_ `  f )  e.  (UFL 
i^i  dom  card ) )  -> 
( Xt_ `  f )  e.  Comp )
193, 4, 15, 18syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  f : dom  f --> Comp )  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp )
2019ex 423 . . 3  |-  (CHOICE  ->  (
f : dom  f --> Comp  ->  ( Xt_ `  f
)  e.  Comp )
)
2120alrimiv 1617 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
22 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
23 kelac2lem 27162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g `  y )  e.  _V  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
2422, 23mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  y  e.  dom  g )  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  e.  Comp )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) )
2624, 25fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp )
27 ffdm 5403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  g --> Comp  ->  ( ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp  /\  dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  C_  dom  g ) )
2928simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) : dom  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) --> Comp )
30 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
3130dmex 4941 . . . . . . . . 9  |-  dom  g  e.  _V
3231mptex 5746 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  e. 
_V
33 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )
34 dmeq 4879 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  dom  f  =  dom  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )
3533, 34feq12d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
f : dom  f --> Comp  <-> 
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp ) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  ( Xt_ `  f )  =  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) ) )
3736eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( Xt_ `  f )  e.  Comp  <->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
3835, 37imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) )  ->  (
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) 
<->  ( ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) : dom  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) --> Comp  ->  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp ) ) )
3932, 38spcv 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) : dom  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) --> Comp 
->  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp ) )
4029, 39syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( y  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp ) )
41 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
4241a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
43 df-nel 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  <->  -.  (/)  e.  ran  g )
4443biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e/ 
ran  g  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
4544ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  -.  (/) 
e.  ran  g )
46 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  g  /\  x  e.  dom  g )  -> 
( g `  x
)  e.  ran  g
)
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  e.  ran  g )
48 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x )  =  (/)  ->  ( ( g `  x )  e.  ran  g  <->  (/)  e.  ran  g ) )
4947, 48syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
( g `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  g ) )
5049necon3bd 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  g  ->  ( g `  x
)  =/=  (/) ) )
5145, 50mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
5251adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  /\  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  e.  Comp )  /\  x  e.  dom  g )  ->  (
g `  x )  =/=  (/) )
53 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
g `  y )  =  ( g `  x ) )
5453unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  U. (
g `  y )  =  U. ( g `  x ) )
5554pweqd 3630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ~P U. ( g `  y
)  =  ~P U. ( g `  x
) )
5655sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  { ~P U. ( g `  y
) }  =  { ~P U. ( g `  x ) } )
5753, 56preq12d 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y
) } }  =  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
)
5857fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( topGen `
 { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } )  =  (
topGen `  { ( g `
 x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) )
5958cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) )  =  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  x
) ,  { ~P U. ( g `  x
) } } ) )
6059fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  {
( g `  y
) ,  { ~P U. ( g `  y
) } } ) ) )  =  (
Xt_ `  ( x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )
6160eleq1i 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp 
<->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6261biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  y ) ,  { ~P U. ( g `  y ) } }
) ) )  e. 
Comp  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  x ) ,  { ~P U. (
g `  x ) } } ) ) )  e.  Comp )
6362adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Xt_ `  ( x  e. 
dom  g  |->  ( topGen `  { ( g `  x ) ,  { ~P U. ( g `  x ) } }
) ) )  e. 
Comp )
6442, 52, 63kelac2 27163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  /\  ( Xt_ `  (
y  e.  dom  g  |->  ( topGen `  { (
g `  y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) )
6564ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  (
( Xt_ `  ( y  e.  dom  g  |->  (
topGen `  { ( g `
 y ) ,  { ~P U. (
g `  y ) } } ) ) )  e.  Comp  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6640, 65syld 40 . . . . 5  |-  ( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g )  ->  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  X_ x  e.  dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
6766com12 27 . . . 4  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  (
( Fun  g  /\  (/) 
e/  ran  g )  -> 
X_ x  e.  dom  g ( g `  x )  =/=  (/) ) )
6867alrimiv 1617 . . 3  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  ->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
69 dfac9 7762 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. g
( ( Fun  g  /\  (/)  e/  ran  g
)  ->  X_ x  e. 
dom  g ( g `
 x )  =/=  (/) ) )
7068, 69sylibr 203 . 2  |-  ( A. f ( f : dom  f --> Comp  ->  (
Xt_ `  f )  e.  Comp )  -> CHOICE )
7121, 70impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( f : dom  f
--> Comp  ->  ( Xt_ `  f )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255   X_cixp 6817   cardccrd 7568  CHOICEwac 7742   topGenctg 13342   Xt_cpt 13343   Compccmp 17113  UFLcufl 17595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-wdom 7273  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743  df-cda 7794  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cmp 17114  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596  df-ufl 17597  df-flim 17634  df-fcls 17636
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