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Theorem dfac5 7771
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Theorem 6M(4) of [Enderton] p. 151 and asserts that given a family of mutually disjoint nonempty sets, a set exists containing exactly one member from each set in the family. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac5  |-  (CHOICE  <->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
Distinct variable group:    x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac5
Dummy variables  f  h  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac4 7765 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) ) )
2 neeq1 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =/=  (/)  <->  w  =/=  (/) ) )
32cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  <->  A. w  e.  x  w  =/=  (/) )
43anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  A. z  e.  x  z  =/=  (/) )  <->  ( A. w  e.  x  (
w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  A. w  e.  x  w  =/=  (/) ) )
5 r19.26 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  x  (
( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  w  =/=  (/) )  <->  ( A. w  e.  x  (
w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  A. w  e.  x  w  =/=  (/) ) )
64, 5bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  A. z  e.  x  z  =/=  (/) )  <->  A. w  e.  x  ( (
w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  w  =/=  (/) ) )
7 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  =/=  (/)  /\  (
w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )  -> 
( f `  w
)  e.  w )
87ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  w  =/=  (/) )  ->  (
f `  w )  e.  w )
98ralimi 2631 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  x  (
( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  w  =/=  (/) )  ->  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w
)
106, 9sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  /\  A. z  e.  x  z  =/=  (/) )  ->  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w
)
11 r19.26 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. w  e.  x  (
( f `  w
)  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w  /\  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
12 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  ( z  i^i 
ran  f )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  ran  f ) )
13 fvelrnb 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  Fn  x  ->  (
v  e.  ran  f  <->  E. t  e.  x  ( f `  t )  =  v ) )
1413biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  ran  f  /\  f  Fn  x
)  ->  E. t  e.  x  ( f `  t )  =  v )
15 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  t  ->  (
f `  w )  =  ( f `  t ) )
16 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  t  ->  w  =  t )
1715, 16eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  t  ->  (
( f `  w
)  e.  w  <->  ( f `  t )  e.  t ) )
18 neeq2 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  t  ->  (
z  =/=  w  <->  z  =/=  t ) )
19 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  =  t  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  t ) )
2019eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  =  t  ->  (
( z  i^i  w
)  =  (/)  <->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) )
2118, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  =  t  ->  (
( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  =  t  ->  (
( ( f `  w )  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  <-> 
( ( f `  t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) ) ) )
2322rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  x  ->  ( A. w  e.  x  ( ( f `  w )  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( ( f `
 t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  (
z  i^i  t )  =  (/) ) ) ) )
24 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f `  t )  =  v  ->  (
( f `  t
)  e.  z  <->  v  e.  z ) )
2524biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f `  t
)  =  v  /\  v  e.  z )  ->  ( f `  t
)  e.  z )
26 minel 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  t  /\  ( z  i^i  t
)  =  (/) )  ->  -.  ( f `  t
)  e.  z )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f `  t )  e.  t  ->  (
( z  i^i  t
)  =  (/)  ->  -.  ( f `  t
)  e.  z ) )
2827imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( f `  t )  e.  t  ->  (
( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t
)  =  (/) )  -> 
( z  =/=  t  ->  -.  ( f `  t )  e.  z ) ) )
2928imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t
)  =  (/) ) )  ->  ( z  =/=  t  ->  -.  (
f `  t )  e.  z ) )
3029necon4ad 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t
)  =  (/) ) )  ->  ( ( f `
 t )  e.  z  ->  z  =  t ) )
3130imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) )  /\  (
f `  t )  e.  z )  ->  z  =  t )
3225, 31sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) )  /\  (
( f `  t
)  =  v  /\  v  e.  z )
)  ->  z  =  t )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  =  t  ->  (
f `  z )  =  ( f `  t ) )
34 eqeq2 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f `  t )  =  v  ->  (
( f `  z
)  =  ( f `
 t )  <->  ( f `  z )  =  v ) )
35 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f `  z )  =  v  <->  v  =  ( f `  z
) )
3634, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f `  t )  =  v  ->  (
( f `  z
)  =  ( f `
 t )  <->  v  =  ( f `  z
) ) )
3733, 36syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( f `  t )  =  v  ->  (
z  =  t  -> 
v  =  ( f `
 z ) ) )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) )  /\  (
( f `  t
)  =  v  /\  v  e.  z )
)  ->  ( z  =  t  ->  v  =  ( f `  z
) ) )
3932, 38mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( f `  t )  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t )  =  (/) ) )  /\  (
( f `  t
)  =  v  /\  v  e.  z )
)  ->  v  =  ( f `  z
) )
4039exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  t  /\  ( z  =/=  t  ->  ( z  i^i  t
)  =  (/) ) )  ->  ( ( f `
 t )  =  v  ->  ( v  e.  z  ->  v  =  ( f `  z
) ) ) )
4123, 40syl6com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. w  e.  x  (
( f `  w
)  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( t  e.  x  ->  ( (
f `  t )  =  v  ->  ( v  e.  z  ->  v  =  ( f `  z ) ) ) ) )
4241com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  z  ->  (
t  e.  x  -> 
( ( f `  t )  =  v  ->  ( A. w  e.  x  ( (
f `  w )  e.  w  /\  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  v  =  ( f `  z ) ) ) ) )
4342rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  z  ->  ( E. t  e.  x  ( f `  t
)  =  v  -> 
( A. w  e.  x  ( ( f `
 w )  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )  -> 
v  =  ( f `
 z ) ) ) )
4414, 43syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  z  ->  (
( v  e.  ran  f  /\  f  Fn  x
)  ->  ( A. w  e.  x  (
( f `  w
)  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  v  =  ( f `  z ) ) ) )
4544exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  z  ->  (
v  e.  ran  f  ->  ( f  Fn  x  ->  ( A. w  e.  x  ( ( f `
 w )  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )  -> 
v  =  ( f `
 z ) ) ) ) )
4645com4t 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  Fn  x  ->  ( A. w  e.  x  ( ( f `  w )  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( v  e.  z  ->  ( v  e.  ran  f  ->  v  =  ( f `  z ) ) ) ) )
4746imp4b 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( ( f `  w
)  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
v  e.  z  /\  v  e.  ran  f )  ->  v  =  ( f `  z ) ) )
4812, 47syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( ( f `  w
)  e.  w  /\  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  ->  v  =  ( f `  z ) ) )
4911, 48sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w  /\  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  ->  v  =  ( f `  z ) ) )
5049anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  ran  f )  ->  v  =  ( f `
 z ) ) )
5150adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w
)  /\  z  e.  x )  /\  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  ->  v  =  ( f `  z ) ) )
52 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  w )  =  ( f `  z ) )
53 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
5452, 53eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  (
( f `  w
)  e.  w  <->  ( f `  z )  e.  z ) )
5554rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w  -> 
( f `  z
)  e.  z ) )
56 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  x  /\  z  e.  x )  ->  ( f `  z
)  e.  ran  f
)
5756expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  (
f  Fn  x  -> 
( f `  z
)  e.  ran  f
) )
5855, 57anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  x  ->  (
( A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w  /\  f  Fn  x
)  ->  ( (
f `  z )  e.  z  /\  (
f `  z )  e.  ran  f ) ) )
59 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  z )  e.  ( z  i^i 
ran  f )  <->  ( (
f `  z )  e.  z  /\  (
f `  z )  e.  ran  f ) )
6058, 59syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  x  ->  (
( A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w  /\  f  Fn  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( z  i^i  ran  f
) ) )
6160exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w  -> 
( f  Fn  x  ->  ( f `  z
)  e.  ( z  i^i  ran  f )
) ) )
6261com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  x  ->  ( A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  ( z  i^i  ran  f )
) ) )
6362imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( z  i^i  ran  f
) )
64 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( f `  z )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  ( f `  z )  e.  ( z  i^i 
ran  f ) ) )
6563, 64syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  z  e.  x
)  ->  ( v  =  ( f `  z )  ->  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w
)  /\  z  e.  x )  /\  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( v  =  ( f `  z
)  ->  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) )
6751, 66impbid 183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w
)  /\  z  e.  x )  /\  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  ( f `  z
) ) )
6867ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  z  e.  x
)  ->  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( v  e.  ( z  i^i  ran  f
)  <->  v  =  ( f `  z ) ) ) )
6968alrimdv 1623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  z  e.  x
)  ->  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  A. v ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  ( f `  z
) ) ) )
70 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
71 eqeq2 2305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f `  z )  ->  (
v  =  h  <->  v  =  ( f `  z
) ) )
7271bibi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( f `  z )  ->  (
( v  e.  ( z  i^i  ran  f
)  <->  v  =  h )  <->  ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  ( f `  z
) ) ) )
7372albidv 1615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f `  z )  ->  ( A. v ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  h )  <->  A. v
( v  e.  ( z  i^i  ran  f
)  <->  v  =  ( f `  z ) ) ) )
7470, 73spcev 2888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. v ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  ( f `  z
) )  ->  E. h A. v ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  h ) )
75 df-eu 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f
)  <->  E. h A. v
( v  e.  ( z  i^i  ran  f
)  <->  v  =  h ) )
7674, 75sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v ( v  e.  ( z  i^i  ran  f )  <->  v  =  ( f `  z
) )  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ran  f ) )
7769, 76syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w )  /\  z  e.  x
)  ->  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) )
7877ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( f `  w )  e.  w )  -> 
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) )
7978ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  x  ->  ( A. w  e.  x  ( f `  w
)  e.  w  -> 
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) ) )
8010, 79syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  x  ->  (
( A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
)  /\  A. z  e.  x  z  =/=  (/) )  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) ) )
8180exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  x  ->  ( A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  ->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) ) ) )
8281imp4b 573 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )  -> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  ran  f ) ) )
83 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
8483rnex 4958 . . . . . . 7  |-  ran  f  e.  _V
85 ineq2 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ran  f  -> 
( z  i^i  y
)  =  ( z  i^i  ran  f )
)
8685eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ran  f  -> 
( v  e.  ( z  i^i  y )  <-> 
v  e.  ( z  i^i  ran  f )
) )
8786eubidv 2164 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ran  f  -> 
( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ran  f )
) )
8887ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ran  f  -> 
( A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ran  f )
) )
8984, 88spcev 2888 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  ran  f )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
9082, 89syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )  -> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
9190exlimiv 1624 . . . 4  |-  ( E. f ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
9291alimi 1549 . . 3  |-  ( A. x E. f ( f  Fn  x  /\  A. w  e.  x  (
w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )  ->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
931, 92sylbi 187 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
94 eqid 2296 . . . . 5  |-  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
95 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( U. { u  |  (
u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  i^i  y
)  =  ( U. { u  |  (
u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  i^i  y
)
96 biid 227 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
9794, 95, 96dfac5lem5 7770 . . . 4  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
9897alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. h E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
99 dfac3 7764 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. h E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
10098, 99sylibr 203 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  -> CHOICE )
10193, 100impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843    X. cxp 4703   ran crn 4706    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  CHOICEwac 7758
This theorem is referenced by:  dfackm  7808  ac8  8135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ac 7759
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