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Theorem dfac5lem4 7999
Description: Lemma for dfac5 8001. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac5lem.1  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
dfac5lem.2  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
dfac5lem.3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac5lem4  |-  ( ph  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
Distinct variable groups:    x, z,
y, w, v, u, t, h    z, B, w    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, t, h)    A( v, u, t, h)    B( x, y, v, u, t, h)

Proof of Theorem dfac5lem4
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
2 neeq1 2606 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
3 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( { t }  X.  t
)  <->  z  =  ( { t }  X.  t ) ) )
43rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  h  u  =  ( {
t }  X.  t
)  <->  E. t  e.  h  z  =  ( {
t }  X.  t
) ) )
52, 4anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) )  <->  ( z  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t ) ) ) )
61, 5elab 3074 . . . . 5  |-  ( z  e.  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  <->  ( z  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t ) ) )
76simplbi 447 . . . 4  |-  ( z  e.  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  ->  z  =/=  (/) )
8 dfac5lem.1 . . . 4  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
97, 8eleq2s 2527 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  z  =/=  (/) )
109rgen 2763 . 2  |-  A. z  e.  A  z  =/=  (/)
11 df-an 361 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  <->  -.  ( x  e.  z  ->  -.  x  e.  w ) )
121, 5, 8elab2 3077 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  <->  ( z  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t ) ) )
1312simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t ) )
14 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
15 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =/=  (/)  <->  w  =/=  (/) ) )
16 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( { t }  X.  t
)  <->  w  =  ( { t }  X.  t ) ) )
1716rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  ( E. t  e.  h  u  =  ( {
t }  X.  t
)  <->  E. t  e.  h  w  =  ( {
t }  X.  t
) ) )
1815, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  (
( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) )  <->  ( w  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  w  =  ( { t }  X.  t ) ) ) )
1914, 18, 8elab2 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  A  <->  ( w  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  w  =  ( { t }  X.  t ) ) )
2019simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  E. t  e.  h  w  =  ( { t }  X.  t ) )
21 sneq 3817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  g  ->  { t }  =  { g } )
2221xpeq1d 4893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  g  ->  ( { t }  X.  t )  =  ( { g }  X.  t ) )
23 xpeq2 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  g  ->  ( { g }  X.  t )  =  ( { g }  X.  g ) )
2422, 23eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  g  ->  ( { t }  X.  t )  =  ( { g }  X.  g ) )
2524eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  g  ->  (
w  =  ( { t }  X.  t
)  <->  w  =  ( { g }  X.  g ) ) )
2625cbvrexv 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  h  w  =  ( { t }  X.  t )  <->  E. g  e.  h  w  =  ( {
g }  X.  g
) )
2720, 26sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  E. g  e.  h  w  =  ( { g }  X.  g ) )
28 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  ( { t }  X.  t ) ) )
29 elxp 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { t }  X.  t )  <->  E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) ) )
30 excom 1756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) )  <->  E. v E. u ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  {
t }  /\  v  e.  t ) ) )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { t }  X.  t )  <->  E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) ) )
3228, 31syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( x  e.  z  <->  E. v E. u
( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) ) ) )
33 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( { g }  X.  g )  ->  ( x  e.  w  <->  x  e.  ( { g }  X.  g ) ) )
34 elxp 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( { g }  X.  g )  <->  E. u E. y ( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )
35 excom 1756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. u E. y ( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) )  <->  E. y E. u ( x  = 
<. u ,  y >.  /\  ( u  e.  {
g }  /\  y  e.  g ) ) )
3634, 35bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( { g }  X.  g )  <->  E. y E. u ( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )
3733, 36syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( { g }  X.  g )  ->  ( x  e.  w  <->  E. y E. u
( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) ) )
3832, 37bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  <->  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
{ t }  /\  v  e.  t )
)  /\  E. y E. u ( x  = 
<. u ,  y >.  /\  ( u  e.  {
g }  /\  y  e.  g ) ) ) ) )
39 eeanv 1937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. v E. y ( E. u ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
{ t }  /\  v  e.  t )
)  /\  E. u
( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )  <-> 
( E. v E. u ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  {
t }  /\  v  e.  t ) )  /\  E. y E. u ( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) ) )
4038, 39syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  <->  E. v E. y ( E. u
( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) )  /\  E. u ( x  = 
<. u ,  y >.  /\  ( u  e.  {
g }  /\  y  e.  g ) ) ) ) )
41 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  { t }  <-> 
u  =  t )
42 opeq1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  t  ->  <. u ,  v >.  =  <. t ,  v >. )
4342eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  t  ->  (
x  =  <. u ,  v >.  <->  x  =  <. t ,  v >.
) )
4443biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  u  =  t )  ->  x  =  <. t ,  v >. )
4541, 44sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  u  e.  { t } )  ->  x  =  <. t ,  v >. )
4645adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  { t }  /\  v  e.  t ) )  ->  x  =  <. t ,  v >. )
4746exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  {
t }  /\  v  e.  t ) )  ->  x  =  <. t ,  v >. )
48 elsn 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  { g }  <-> 
u  =  g )
49 opeq1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  g  ->  <. u ,  y >.  =  <. g ,  y >. )
5049eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =  g  ->  (
x  =  <. u ,  y >.  <->  x  =  <. g ,  y >.
) )
5150biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  <. u ,  y >.  /\  u  =  g )  ->  x  =  <. g ,  y >. )
5248, 51sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  <. u ,  y >.  /\  u  e.  { g } )  ->  x  =  <. g ,  y >. )
5352adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) )  ->  x  =  <. g ,  y >. )
5453exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u ( x  = 
<. u ,  y >.  /\  ( u  e.  {
g }  /\  y  e.  g ) )  ->  x  =  <. g ,  y >. )
5547, 54sylan9req 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. u ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
{ t }  /\  v  e.  t )
)  /\  E. u
( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )  ->  <. t ,  v
>.  =  <. g ,  y >. )
56 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  e. 
_V
57 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  v  e. 
_V
5856, 57opth1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
t ,  v >.  =  <. g ,  y
>.  ->  t  =  g )
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E. u ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
{ t }  /\  v  e.  t )
)  /\  E. u
( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )  ->  t  =  g )
6059exlimivv 1645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. v E. y ( E. u ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
{ t }  /\  v  e.  t )
)  /\  E. u
( x  =  <. u ,  y >.  /\  (
u  e.  { g }  /\  y  e.  g ) ) )  ->  t  =  g )
6140, 60syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  t  =  g ) )
6261, 24syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  ( { t }  X.  t )  =  ( { g }  X.  g ) ) )
63 eqeq12 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( z  =  w  <-> 
( { t }  X.  t )  =  ( { g }  X.  g ) ) )
6462, 63sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  ( { t }  X.  t
)  /\  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  z  =  w ) )
6564ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( w  =  ( { g }  X.  g )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  z  =  w ) ) )
6665rexlimivw 2818 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( w  =  ( { g }  X.  g )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  z  =  w ) ) )
6766rexlimdvw 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  h  z  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( E. g  e.  h  w  =  ( { g }  X.  g )  ->  (
( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  ->  z  =  w ) ) )
6867imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. t  e.  h  z  =  ( {
t }  X.  t
)  /\  E. g  e.  h  w  =  ( { g }  X.  g ) )  -> 
( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  z  =  w ) )
6913, 27, 68syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  z  =  w ) )
7011, 69syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( -.  ( x  e.  z  ->  -.  x  e.  w )  ->  z  =  w ) )
7170necon1ad 2665 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( x  e.  z  ->  -.  x  e.  w ) ) )
7271alrimdv 1643 . . . 4  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  A. x ( x  e.  z  ->  -.  x  e.  w )
) )
73 disj1 3662 . . . 4  |-  ( ( z  i^i  w )  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  z  ->  -.  x  e.  w )
)
7472, 73syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
7574rgen2a 2764 . 2  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
76 dfac5lem.3 . . 3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
77 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  h  e. 
_V
7877uniex 4697 . . . . . . . 8  |-  U. h  e.  _V
7977, 78xpex 4982 . . . . . . 7  |-  ( h  X.  U. h )  e.  _V
8079pwex 4374 . . . . . 6  |-  ~P (
h  X.  U. h
)  e.  _V
81 snssi 3934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  h  ->  { t }  C_  h )
82 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  h  ->  t  C_ 
U. h )
83 xpss12 4973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { t }  C_  h  /\  t  C_  U. h
)  ->  ( {
t }  X.  t
)  C_  ( h  X.  U. h ) )
8481, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  h  ->  ( { t }  X.  t )  C_  (
h  X.  U. h
) )
85 snex 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { t }  e.  _V
8685, 56xpex 4982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { t }  X.  t
)  e.  _V
8786elpw 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { t }  X.  t )  e.  ~P ( h  X.  U. h
)  <->  ( { t }  X.  t ) 
C_  ( h  X.  U. h ) )
8884, 87sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  h  ->  ( { t }  X.  t )  e.  ~P ( h  X.  U. h
) )
89 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( { t }  X.  t )  ->  ( u  e. 
~P ( h  X.  U. h )  <->  ( {
t }  X.  t
)  e.  ~P (
h  X.  U. h
) ) )
9088, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  h  ->  (
u  =  ( { t }  X.  t
)  ->  u  e.  ~P ( h  X.  U. h ) ) )
9190rexlimiv 2816 . . . . . . . 8  |-  ( E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t )  ->  u  e.  ~P ( h  X.  U. h
) )
9291adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) )  ->  u  e.  ~P ( h  X.  U. h ) )
9392abssi 3410 . . . . . 6  |-  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) } 
C_  ~P ( h  X.  U. h )
9480, 93ssexi 4340 . . . . 5  |-  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }  e.  _V
958, 94eqeltri 2505 . . . 4  |-  A  e. 
_V
96 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  <->  A. z  e.  A  z  =/=  (/) ) )
97 raleq 2896 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
9897raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
9996, 98anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  <-> 
( A. z  e.  A  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) ) )
100 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  A. z  e.  A  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
101100exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. y A. z  e.  A  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
10299, 101imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( A. z  e.  A  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
10395, 102spcv 3034 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  (
( A. z  e.  A  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
10476, 103sylbi 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. z  e.  A  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
10510, 75, 104mp2ani 660 1  |-  ( ph  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   <.cop 3809   U.cuni 4007    X. cxp 4868
This theorem is referenced by:  dfac5lem5  8000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-opab 4259  df-xp 4876
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