MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac5lem5 Unicode version

Theorem dfac5lem5 7754
Description: Lemma for dfac5 7755. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac5lem.1  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
dfac5lem.2  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
dfac5lem.3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
Assertion
Ref Expression
dfac5lem5  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Distinct variable groups:    x, f,
z, y, w, v, u, t, h    z, B, w, f    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, t, f, h)    A( v, u, t, f, h)    B( x, y, v, u, t, h)

Proof of Theorem dfac5lem5
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac5lem.1 . . 3  |-  A  =  { u  |  ( u  =/=  (/)  /\  E. t  e.  h  u  =  ( { t }  X.  t ) ) }
2 dfac5lem.2 . . 3  |-  B  =  ( U. A  i^i  y )
3 dfac5lem.3 . . 3  |-  ( ph  <->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
41, 2, 3dfac5lem4 7753 . 2  |-  ( ph  ->  E. y A. z  e.  A  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )
5 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h )  ->  w  e.  h )
65a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  w  e.  h ) )
7 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( z  i^i  y
)  =  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) )
87eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( v  e.  ( z  i^i  y )  <-> 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
98eubidv 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( { w }  X.  w )  -> 
( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
109rspccv 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  ->  E! v 
v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
) ) )
111dfac5lem3 7752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { w }  X.  w )  e.  A  <->  ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h ) )
12 dfac5lem1 7750 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! v  v  e.  ( ( { w }  X.  w )  i^i  y
)  <->  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
1310, 11, 123imtr3g 260 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g
( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
146, 13jcad 519 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) ) )
152eleq2i 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  <. w ,  g
>.  e.  ( U. A  i^i  y ) )
16 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  ( U. A  i^i  y )  <->  ( <. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) )
171dfac5lem2 7751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  U. A  <->  ( w  e.  h  /\  g  e.  w ) )
1817anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w )  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
19 anass 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  h  /\  g  e.  w
)  /\  <. w ,  g >.  e.  y
)  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2018, 19bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  U. A  /\  <. w ,  g >.  e.  y )  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2115, 16, 203bitri 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  <->  ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) ) )
2221eubii 2152 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  <->  E! g
( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
23 euanv 2204 . . . . . . . . 9  |-  ( E! g ( w  e.  h  /\  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g
>.  e.  y ) ) )
2422, 23bitr2i 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  h  /\  E! g ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )  <->  E! g <. w ,  g >.  e.  B )
2514, 24syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  E! g <. w ,  g >.  e.  B ) )
26 euex 2166 . . . . . . . 8  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  E. g <. w ,  g >.  e.  B )
27 nfeu1 2153 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g E! g <. w ,  g >.  e.  B
28 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( B `  w
)  e.  w
2927, 28nfim 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( E! g <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( B `
 w )  e.  w )
3021simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( g  e.  w  /\  <. w ,  g >.  e.  y ) )
3130simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  g  e.  w )
32 tz6.12 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  ( B `  w )  =  g )
3332eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. w ,  g >.  e.  B  /\  E! g
<. w ,  g >.  e.  B )  ->  (
( B `  w
)  e.  w  <->  g  e.  w ) )
3433biimparc 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  w  /\  ( <. w ,  g
>.  e.  B  /\  E! g <. w ,  g
>.  e.  B ) )  ->  ( B `  w )  e.  w
)
3534exp32 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  w  ->  ( <. w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
3631, 35mpcom 32 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
w ,  g >.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3729, 36exlimi 1801 . . . . . . . 8  |-  ( E. g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
3826, 37mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( E! g <. w ,  g
>.  e.  B  ->  ( B `  w )  e.  w )
3925, 38syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( ( w  =/=  (/)  /\  w  e.  h
)  ->  ( B `  w )  e.  w
) )
4039exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  ( w  e.  h  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) ) )
4140ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w ) )
42 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
4342inex2 4156 . . . . . 6  |-  ( U. A  i^i  y )  e. 
_V
442, 43eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
45 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  B  ->  (
f `  w )  =  ( B `  w ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( f  =  B  ->  (
( f `  w
)  e.  w  <->  ( B `  w )  e.  w
) )
4746imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( f  =  B  ->  (
( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4847ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( f  =  B  ->  ( A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w )  <->  A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w
) ) )
4944, 48spcev 2875 . . . 4  |-  ( A. w  e.  h  (
w  =/=  (/)  ->  ( B `  w )  e.  w )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
5041, 49syl 15 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
5150exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  A  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  (
f `  w )  e.  w ) )
524, 51syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. f A. w  e.  h  ( w  =/=  (/)  ->  ( f `  w )  e.  w
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  dfac5  7755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator