MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Unicode version

Theorem dfac8 7777
Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 8138 and the Axiom of Choice ac7 8116. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Distinct variable group:    x, r

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables  f 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7764 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
32pwex 4209 . . . . . . 7  |-  ~P x  e.  _V
4 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
54exbidv 1616 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( E. f A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
63, 5spcv 2887 . . . . . 6  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
7 dfac8a 7673 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( E. f A. z  e. 
~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card ) )
82, 6, 7mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card )
9 dfac8b 7674 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  x
)
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. r 
r  We  x )
1110alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. r  r  We  x )
12 vex 2804 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1312uniex 4532 . . . . . 6  |-  U. y  e.  _V
14 weeq2 4398 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( r  We  x  <->  r  We  U. y ) )
1514exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. y  -> 
( E. r  r  We  x  <->  E. r 
r  We  U. y
) )
1613, 15spcv 2887 . . . . 5  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. r 
r  We  U. y
)
17 dfac8c 7676 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. y  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
1812, 16, 17mpsyl 59 . . . 4  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
1918alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2011, 19impbii 180 . 2  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. x E. r 
r  We  x )
211, 20bitri 240 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    We wwe 4367   dom cdm 4705   ` cfv 5271   cardccrd 7584  CHOICEwac 7758
This theorem is referenced by:  dfac10  7779  weth  8138  dfac11  27263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-en 6880  df-card 7588  df-ac 7759
  Copyright terms: Public domain W3C validator