Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Structured version   Unicode version

Theorem dfac8 8007
 Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 8367 and the Axiom of Choice ac7 8345. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8 CHOICE
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7994 . 2 CHOICE
2 vex 2951 . . . . . 6
32pwex 4374 . . . . . . 7
4 raleq 2896 . . . . . . . 8
54exbidv 1636 . . . . . . 7
63, 5spcv 3034 . . . . . 6
7 dfac8a 7903 . . . . . 6
82, 6, 7mpsyl 61 . . . . 5
9 dfac8b 7904 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
1110alrimiv 1641 . . 3
12 vex 2951 . . . . 5
1312uniex 4697 . . . . . 6
14 weeq2 4563 . . . . . . 7
1514exbidv 1636 . . . . . 6
1613, 15spcv 3034 . . . . 5
17 dfac8c 7906 . . . . 5
1812, 16, 17mpsyl 61 . . . 4
1918alrimiv 1641 . . 3
2011, 19impbii 181 . 2
211, 20bitri 241 1 CHOICE
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177  wal 1549  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007   wwe 4532   cdm 4870  cfv 5446  ccrd 7814  CHOICEwac 7988 This theorem is referenced by:  dfac10  8009  weth  8367  dfac11  27128 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-en 7102  df-card 7818  df-ac 7989
 Copyright terms: Public domain W3C validator