MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8 Unicode version

Theorem dfac8 7950
Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 8310 and the Axiom of Choice ac7 8288. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfac8  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Distinct variable group:    x, r

Proof of Theorem dfac8
Dummy variables  f 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7937 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2 vex 2904 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
32pwex 4325 . . . . . . 7  |-  ~P x  e.  _V
4 raleq 2849 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
54exbidv 1633 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ~P x  -> 
( E. f A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
63, 5spcv 2987 . . . . . 6  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  ~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
7 dfac8a 7846 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( E. f A. z  e. 
~P  x ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card ) )
82, 6, 7mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  x  e.  dom  card )
9 dfac8b 7847 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  card  ->  E. r  r  We  x
)
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. r 
r  We  x )
1110alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  A. x E. r  r  We  x )
12 vex 2904 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
1312uniex 4647 . . . . . 6  |-  U. y  e.  _V
14 weeq2 4514 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( r  We  x  <->  r  We  U. y ) )
1514exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. y  -> 
( E. r  r  We  x  <->  E. r 
r  We  U. y
) )
1613, 15spcv 2987 . . . . 5  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. r 
r  We  U. y
)
17 dfac8c 7849 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( E. r  r  We  U. y  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
1812, 16, 17mpsyl 61 . . . 4  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  E. f A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
1918alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. x E. r  r  We  x  ->  A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
2011, 19impbii 181 . 2  |-  ( A. y E. f A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. x E. r 
r  We  x )
211, 20bitri 241 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. r  r  We  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   _Vcvv 2901   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959    We wwe 4483   dom cdm 4820   ` cfv 5396   cardccrd 7757  CHOICEwac 7931
This theorem is referenced by:  dfac10  7952  weth  8310  dfac11  26831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-suc 4530  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-riota 6487  df-recs 6571  df-en 7048  df-card 7761  df-ac 7932
  Copyright terms: Public domain W3C validator