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Theorem dfac8clem 7659
Description: Lemma for dfac8c 7660. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
Assertion
Ref Expression
dfac8clem  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
f, r, s, z, A    B, r, s    f, F, z
Allowed substitution hints:    B( z, f, a, b)    F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )
2 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  C_ 
U. A )
32ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  C_  U. A )
4 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r  We  U. A
)
5 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
6 exse2 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  _V  ->  r Se  U. A )
75, 6mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r Se  U. A )
8 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  =/=  (/) )
9 wereu2 4390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  We  U. A  /\  r Se  U. A
)  /\  ( s  C_ 
U. A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
11 riotacl 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
133, 12sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A
)
141, 13sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A )
15 dfac8clem.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
1614, 15fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F : ( A  \  { (/) } ) --> U. A )
17 difexg 4162 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  \  { (/) } )  e.  _V )
1817adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  ( A  \  { (/) } )  e. 
_V )
19 uniexg 4517 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  U. A  e.  _V )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  U. A  e.  _V )
21 fex2 5401 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A 
\  { (/) } ) --> U. A  /\  ( A  \  { (/) } )  e.  _V  /\  U. A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F  e.  _V )
23 riotaex 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a )  e. 
_V
2415fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  _V )  ->  ( F `  s )  =  (
iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2523, 24mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
261, 25sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( F `  s )  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
2827, 12eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  e.  s )
2928expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  A )  ->  (
s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
3029ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
31 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ s  z  =/=  (/)
32 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
3315, 32nfcxfr 2416 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
34 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
z
3533, 34nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( F `  z
)
3635nfel1 2429 . . . . . . 7  |-  F/ s ( F `  z
)  e.  z
3731, 36nfim 1769 . . . . . 6  |-  F/ s ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )
38 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ z ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s )
39 neeq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
z  =/=  (/)  <->  s  =/=  (/) ) )
40 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( F `  z )  =  ( F `  s ) )
41 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  z  =  s )
4240, 41eleq12d 2351 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  z
)  e.  z  <->  ( F `  s )  e.  s ) )
4339, 42imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) ) )
4437, 38, 43cbvral 2760 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
4530, 44sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
46 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
4746eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( F `  z )  e.  z ) )
4847imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
4948ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
5049spcegv 2869 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5122, 45, 50sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
5251ex 423 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5352exlimdv 1664 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Se wse 4350    We wwe 4351   -->wf 5251   ` cfv 5255   iota_crio 6297
This theorem is referenced by:  dfac8c  7660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 6304
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