MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac8clem Unicode version

Theorem dfac8clem 7846
Description: Lemma for dfac8c 7847. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
Assertion
Ref Expression
dfac8clem  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
f, r, s, z, A    B, r, s    f, F, z
Allowed substitution hints:    B( z, f, a, b)    F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3870 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )
2 elssuni 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  C_ 
U. A )
32ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  C_  U. A )
4 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r  We  U. A
)
5 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
6 exse2 5178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  _V  ->  r Se  U. A )
75, 6mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r Se  U. A )
8 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  =/=  (/) )
9 wereu2 4520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  We  U. A  /\  r Se  U. A
)  /\  ( s  C_ 
U. A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
11 riotacl 6500 . . . . . . . . 9  |-  ( E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
133, 12sseldd 3292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A
)
141, 13sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A )
15 dfac8clem.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
1614, 15fmptd 5832 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F : ( A  \  { (/) } ) --> U. A )
17 difexg 4292 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  \  { (/) } )  e.  _V )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  ( A  \  { (/) } )  e. 
_V )
19 uniexg 4646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  U. A  e.  _V )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  U. A  e.  _V )
21 fex2 5543 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A 
\  { (/) } ) --> U. A  /\  ( A  \  { (/) } )  e.  _V  /\  U. A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F  e.  _V )
23 riotaex 6489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a )  e. 
_V
2415fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  _V )  ->  ( F `  s )  =  (
iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2523, 24mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
261, 25sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( F `  s )  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2726adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
2827, 12eqeltrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  e.  s )
2928expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  A )  ->  (
s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
3029ralrimiva 2732 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
31 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ s  z  =/=  (/)
32 nfmpt1 4239 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
3315, 32nfcxfr 2520 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
34 nfcv 2523 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
z
3533, 34nffv 5675 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( F `  z
)
3635nfel1 2533 . . . . . . 7  |-  F/ s ( F `  z
)  e.  z
3731, 36nfim 1822 . . . . . 6  |-  F/ s ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )
38 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ z ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s )
39 neeq1 2558 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
z  =/=  (/)  <->  s  =/=  (/) ) )
40 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( F `  z )  =  ( F `  s ) )
41 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  z  =  s )
4240, 41eleq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  z
)  e.  z  <->  ( F `  s )  e.  s ) )
4339, 42imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) ) )
4437, 38, 43cbvral 2871 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
4530, 44sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
46 fveq1 5667 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
4746eleq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( F `  z )  e.  z ) )
4847imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
4948ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
5049spcegv 2980 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5122, 45, 50sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
5251ex 424 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5352exlimdv 1643 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E!wreu 2651   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {csn 3757   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   Se wse 4480    We wwe 4481   -->wf 5390   ` cfv 5394   iota_crio 6478
This theorem is referenced by:  dfac8c  7847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-riota 6485
  Copyright terms: Public domain W3C validator