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Theorem dfac8clem 7905
Description: Lemma for dfac8c 7906. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfac8clem.1  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
Assertion
Ref Expression
dfac8clem  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
f, r, s, z, A    B, r, s    f, F, z
Allowed substitution hints:    B( z, f, a, b)    F( s, r, a, b)

Proof of Theorem dfac8clem
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3919 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )
2 elssuni 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  A  ->  s  C_ 
U. A )
32ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  C_  U. A )
4 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r  We  U. A
)
5 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
6 exse2 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  _V  ->  r Se  U. A )
75, 6mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
r Se  U. A )
8 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
s  =/=  (/) )
9 wereu2 4571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  We  U. A  /\  r Se  U. A
)  /\  ( s  C_ 
U. A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
104, 7, 3, 8, 9syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  ->  E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a )
11 riotacl 6556 . . . . . . . . 9  |-  ( E! a  e.  s  A. b  e.  s  -.  b r a  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  s )
133, 12sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A
)
141, 13sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  ( A  \  { (/) } ) )  ->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  U. A )
15 dfac8clem.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
1614, 15fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F : ( A  \  { (/) } ) --> U. A )
17 difexg 4343 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  \  { (/) } )  e.  _V )
1817adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  ( A  \  { (/) } )  e. 
_V )
19 uniexg 4698 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  U. A  e.  _V )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  U. A  e.  _V )
21 fex2 5595 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A 
\  { (/) } ) --> U. A  /\  ( A  \  { (/) } )  e.  _V  /\  U. A  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  F  e.  _V )
23 riotaex 6545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a )  e. 
_V
2415fvmpt2 5804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ( A 
\  { (/) } )  /\  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a )  e.  _V )  ->  ( F `  s )  =  (
iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2523, 24mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A  \  { (/) } )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
261, 25sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) )  ->  ( F `  s )  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
2726adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  =  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b
r a ) )
2827, 12eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  =/=  (/) ) )  -> 
( F `  s
)  e.  s )
2928expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A
)  /\  s  e.  A )  ->  (
s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
3029ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
31 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ s  z  =/=  (/)
32 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s
( s  e.  ( A  \  { (/) } )  |->  ( iota_ a  e.  s A. b  e.  s  -.  b r a ) )
3315, 32nfcxfr 2568 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s F
34 nfcv 2571 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
z
3533, 34nffv 5727 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
( F `  z
)
3635nfel1 2581 . . . . . . 7  |-  F/ s ( F `  z
)  e.  z
3731, 36nfim 1832 . . . . . 6  |-  F/ s ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )
38 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ z ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s )
39 neeq1 2606 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
z  =/=  (/)  <->  s  =/=  (/) ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  ( F `  z )  =  ( F `  s ) )
41 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  s  ->  z  =  s )
4240, 41eleq12d 2503 . . . . . . 7  |-  ( z  =  s  ->  (
( F `  z
)  e.  z  <->  ( F `  s )  e.  s ) )
4339, 42imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  s  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) ) )
4437, 38, 43cbvral 2920 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  A. s  e.  A  ( s  =/=  (/)  ->  ( F `  s )  e.  s ) )
4530, 44sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
46 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
4746eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( F `  z )  e.  z ) )
4847imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
4948ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) ) )
5049spcegv 3029 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5122, 45, 50sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  r  We  U. A )  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
5251ex 424 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5352exlimdv 1646 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( E. r  r  We  U. A  ->  E. f A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E!wreu 2699   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Se wse 4531    We wwe 4532   -->wf 5442   ` cfv 5446   iota_crio 6534
This theorem is referenced by:  dfac8c  7906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-riota 6541
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