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Theorem dfac9 7980
Description: Equivalence of the axiom of choice with a statement related to ac9 8327; definition AC3 of [Schechter] p. 139. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac9  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Distinct variable group:    x, f

Proof of Theorem dfac9
Dummy variables  g 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 7966 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
2 vex 2927 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
32rnex 5100 . . . . . 6  |-  ran  f  e.  _V
4 raleq 2872 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
54exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( s  =  ran  f  -> 
( E. g A. t  e.  s  (
t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
63, 5spcv 3010 . . . . 5  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  E. g A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
7 df-nel 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  <->  -.  (/)  e.  ran  f )
87biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  e/ 
ran  f  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
98ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  -.  (/) 
e.  ran  f )
10 fvelrn 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
1110adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  e.  ran  f )
12 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  =  (/)  ->  ( ( f `  x )  e.  ran  f  <->  (/)  e.  ran  f ) )
1311, 12syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
( f `  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ran  f ) )
1413necon3bd 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  ( -.  (/)  e.  ran  f  ->  ( f `  x
)  =/=  (/) ) )
159, 14mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  x  e.  dom  f )  ->  (
f `  x )  =/=  (/) )
1615adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  =/=  (/) )
17 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  Fun  f )
1817, 10sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
19 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  ->  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
20 neeq1 2583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
t  =/=  (/)  <->  ( f `  x )  =/=  (/) ) )
21 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
g `  t )  =  ( g `  ( f `  x
) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  t  =  ( f `  x ) )
2321, 22eleq12d 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( g `  t
)  e.  t  <->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) )
2420, 23imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( f `  x )  ->  (
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t )  <->  ( (
f `  x )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) ) ) )
2524rspcva 3018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
( f `  x
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2618, 19, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( ( f `  x )  =/=  (/)  ->  (
g `  ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
2716, 26mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( g `  (
f `  x )
)  e.  ( f `
 x ) )
2827ralrimiva 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) )
292dmex 5099 . . . . . . . . . 10  |-  dom  f  e.  _V
30 mptelixpg 7066 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  f  e.  _V  ->  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  ( f `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `
 ( f `  x ) )  e.  ( f `  x
) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  <->  A. x  e.  dom  f ( g `  ( f `  x
) )  e.  ( f `  x ) )
3228, 31sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x ) )
33 ne0i 3602 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  f  |->  ( g `  (
f `  x )
) )  e.  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )
3432, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  /\  A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )
3534ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( A. t  e.  ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3635exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  ( E. g A. t  e. 
ran  f ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
376, 36syl5com 28 . . . 4  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
3837alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  ->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
39 fnresi 5529 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  Fn  ( s  \  { (/)
} )
40 fnfun 5509 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  Fn  ( s  \  { (/) } )  ->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )
42 neldifsn 3897 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } )
43 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
44 difexg 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  \  { (/) } )  e.  _V )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s 
\  { (/) } )  e.  _V
46 resiexg 5155 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  e.  _V )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  e. 
_V
48 funeq 5440 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( Fun  f 
<->  Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) ) )
49 rneq 5062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ran  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
50 rnresi 5186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
5149, 50syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ran  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
5251eleq2d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e.  ran  f 
<->  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
5352notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ran  f  <->  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) )
547, 53syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (/)  e/  ran  f 
<->  -.  (/)  e.  ( s 
\  { (/) } ) ) )
5548, 54anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  <->  ( Fun  (  _I  |`  ( s 
\  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) ) ) )
56 dmeq 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  dom  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) )
57 dmresi 5163 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( s  \  { (/) } ) )  =  ( s  \  { (/) } )
5856, 57syl6eq 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  dom  f  =  ( s  \  { (/)
} ) )
5958ixpeq1d 7041 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( f `  x ) )
60 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x ) )
61 fvresi 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  -> 
( (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) ) `  x )  =  x )
6260, 61sylan9eq 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  (  _I  |`  ( s  \  { (/)
} ) )  /\  x  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  ( f `  x )  =  x )
6362ixpeq2dva 7044 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
6459, 63eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  = 
X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x )
6564neeq1d 2588 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/) ) )
6655, 65imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  ->  ( (
( Fun  f  /\  (/) 
e/  ran  f )  -> 
X_ x  e.  dom  f ( f `  x )  =/=  (/) )  <->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) ) )
6747, 66spcv 3010 . . . . . 6  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  ( ( Fun  (  _I  |`  (
s  \  { (/) } ) )  /\  -.  (/)  e.  ( s  \  { (/) } ) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) ) )
6841, 42, 67mp2ani 660 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  X_ x  e.  ( s  \  { (/)
} ) x  =/=  (/) )
69 n0 3605 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  (
s  \  { (/) } ) x )
70 vex 2927 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
7170elixp 7036 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  <->  ( g  Fn  ( s  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x ) )
72 eldifsn 3895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( s  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) ) )
7372imbi1i 316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
g `  x )  e.  x ) )
74 impexp 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  s  /\  x  =/=  (/) )  -> 
( g `  x
)  e.  x )  <-> 
( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
7573, 74bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( s 
\  { (/) } )  ->  ( g `  x )  e.  x
)  <->  ( x  e.  s  ->  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) ) )
7675ralbii2 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. x  e.  s  ( x  =/=  (/)  ->  ( g `  x )  e.  x
) )
77 neeq1 2583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =/=  (/)  <->  t  =/=  (/) ) )
78 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
79 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  t  ->  x  =  t )
8078, 79eleq12d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
)  e.  x  <->  ( g `  t )  e.  t ) )
8177, 80imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) ) )
8281cbvralv 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  s  (
x  =/=  (/)  ->  (
g `  x )  e.  x )  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8376, 82bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  <->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8483biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( s  \  { (/) } ) ( g `  x )  e.  x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8584adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  ( s 
\  { (/) } )  /\  A. x  e.  ( s  \  { (/)
} ) ( g `
 x )  e.  x )  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8671, 85sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8786eximi 1582 . . . . . 6  |-  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  ->  E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
8869, 87sylbi 188 . . . . 5  |-  ( X_ x  e.  ( s  \  { (/) } ) x  =/=  (/)  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
8968, 88syl 16 . . . 4  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  E. g A. t  e.  s 
( t  =/=  (/)  ->  (
g `  t )  e.  t ) )
9089alrimiv 1638 . . 3  |-  ( A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) )  ->  A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t ) )
9138, 90impbii 181 . 2  |-  ( A. s E. g A. t  e.  s  ( t  =/=  (/)  ->  ( g `  t )  e.  t )  <->  A. f ( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f )  ->  X_ x  e.  dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
921, 91bitri 241 1  |-  (CHOICE  <->  A. f
( ( Fun  f  /\  (/)  e/  ran  f
)  ->  X_ x  e. 
dom  f ( f `
 x )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575    e/ wnel 2576   A.wral 2674   _Vcvv 2924    \ cdif 3285   (/)c0 3596   {csn 3782    e. cmpt 4234    _I cid 4461   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   ` cfv 5421   X_cixp 7030  CHOICEwac 7960
This theorem is referenced by:  dfac14  17611  dfac21  27040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ixp 7031  df-ac 7961
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