MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfacacn Structured version   Unicode version

Theorem dfacacn 8023
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 8022 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 654 . . 3  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
43alrimiv 1642 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. xAC  x  =  _V )
5 vex 2961 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
6 difexg 4353 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  { (/) } )  e.  _V )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( y 
\  { (/) } )  e.  _V
8 acneq 7926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> AC  x  = AC  ( y  \  { (/)
} ) )
98eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> 
(AC  x  =  _V  <-> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V ) )
107, 9spcv 3044 . . . . 5  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V )
115uniex 4707 . . . . . . 7  |-  U. y  e.  _V
12 id 21 . . . . . . 7  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  -> AC  ( y 
\  { (/) } )  =  _V )
1311, 12syl5eleqr 2525 . . . . . 6  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  U. y  e. AC  ( y  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  e.  y )
15 elssuni 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  C_  U. y
)
17 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
1816, 17jca 520 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )
1918rgen 2773 . . . . . 6  |-  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) )
20 acni2 7929 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e. AC  ( y 
\  { (/) } )  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
2113, 19, 20sylancl 645 . . . . 5  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  E. g
( g : ( y  \  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
225mptex 5968 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  e.  _V
23 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  (
y  \  { (/) } ) ( g `  z
)  e.  z )
24 eldifsn 3929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) ) )
2524imbi1i 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( (
z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
26 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  x )  =  ( g `  z ) )
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )
28 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 z )  e. 
_V
2926, 27, 28fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  =  ( g `
 z ) )
3014, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  =  ( g `  z ) )
3130eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z  <->  ( g `  z )  e.  z ) )
3231pm5.74i 238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( z  e.  ( y  \  { (/)
} )  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
33 impexp 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3425, 32, 333bitr3i 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( g `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3534ralbii2 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
3623, 35sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
37 fvrn0 5755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )
3837rgenw 2775 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  y  ( g `  x )  e.  ( ran  g  u.  { (/)
} )
3927fmpt 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
g `  x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } ) )
4038, 39mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } )
41 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/)
} )  ->  (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  Fn  y
4336, 42jctil 525 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
44 fneq1 5536 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f  Fn  y  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y ) )
45 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z ) )
4645eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
4746imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
4847ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
4944, 48anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
5049spcegv 3039 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  e.  _V  ->  ( ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
5122, 43, 50mpsyl 62 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5251exlimiv 1645 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5310, 21, 523syl 19 . . . 4  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5453alrimiv 1642 . . 3  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
55 dfac4 8005 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5654, 55sylibr 205 . 2  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> CHOICE )
574, 56impbii 182 1  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   ran crn 4881    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  AC wacn 7827  CHOICEwac 7998
This theorem is referenced by:  dfac13  8024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999
  Copyright terms: Public domain W3C validator