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Theorem dfacacn 7767
Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfacacn  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )

Proof of Theorem dfacacn
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 acacni 7766 . . . 4  |-  ( (CHOICE  /\  x  e.  _V )  -> AC  x  =  _V )
31, 2mpan2 652 . . 3  |-  (CHOICE  -> AC  x  =  _V )
43alrimiv 1617 . 2  |-  (CHOICE  ->  A. xAC  x  =  _V )
5 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
6 difexg 4162 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  \  { (/) } )  e.  _V )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( y 
\  { (/) } )  e.  _V
8 acneq 7670 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> AC  x  = AC  ( y  \  { (/)
} ) )
98eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  \  { (/) } )  -> 
(AC  x  =  _V  <-> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V ) )
107, 9spcv 2874 . . . . 5  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V )
115uniex 4516 . . . . . . 7  |-  U. y  e.  _V
12 id 19 . . . . . . 7  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  -> AC  ( y 
\  { (/) } )  =  _V )
1311, 12syl5eleqr 2370 . . . . . 6  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  U. y  e. AC  ( y  \  { (/)
} ) )
14 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  e.  y )
15 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  C_  U. y
)
17 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
1816, 17jca 518 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( z  C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )
1918rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) )
20 acni2 7673 . . . . . 6  |-  ( ( U. y  e. AC  ( y 
\  { (/) } )  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/)
} ) ( z 
C_  U. y  /\  z  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
2113, 19, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  (AC  (
y  \  { (/) } )  =  _V  ->  E. g
( g : ( y  \  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z ) )
225mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  e.  _V
23 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  (
y  \  { (/) } ) ( g `  z
)  e.  z )
24 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) ) )
2524imbi1i 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( (
z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
26 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  x )  =  ( g `  z ) )
27 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )
28 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g `
 z )  e. 
_V
2926, 27, 28fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  y  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  =  ( g `
 z ) )
3014, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  =  ( g `  z ) )
3130eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( y  \  { (/) } )  -> 
( ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z  <->  ( g `  z )  e.  z ) )
3231pm5.74i 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z )  <->  ( z  e.  ( y  \  { (/)
} )  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
33 impexp 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3425, 32, 333bitr3i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ( y 
\  { (/) } )  ->  ( g `  z )  e.  z )  <->  ( z  e.  y  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
3534ralbii2 2571 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
3623, 35sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  A. z  e.  y 
( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) )
37 fvrn0 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g `
 x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )
3837rgenw 2610 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  y  ( g `  x )  e.  ( ran  g  u.  { (/)
} )
3927fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  (
g `  x )  e.  ( ran  g  u. 
{ (/) } )  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } ) )
4038, 39mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/) } )
41 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) : y --> ( ran  g  u.  { (/)
} )  ->  (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) )  Fn  y
4336, 42jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  -> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) ) )
44 fneq1 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f  Fn  y  <->  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y ) )
45 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f `  z )  e.  z  <-> 
( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )
4746imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( ( x  e.  y  |->  ( g `
 x ) ) `
 z )  e.  z ) ) )
4847ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) )
4944, 48anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  -> 
( ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
( x  e.  y 
|->  ( g `  x
) ) `  z
)  e.  z ) ) ) )
5049spcegv 2869 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  e.  _V  ->  ( ( ( x  e.  y  |->  ( g `  x ) )  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( (
x  e.  y  |->  ( g `  x ) ) `  z )  e.  z ) )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
5122, 43, 50mpsyl 59 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( y 
\  { (/) } ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5251exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : ( y  \  { (/)
} ) --> U. y  /\  A. z  e.  ( y  \  { (/) } ) ( g `  z )  e.  z )  ->  E. f
( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
5310, 21, 523syl 18 . . . 4  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5453alrimiv 1617 . . 3  |-  ( A. xAC  x  =  _V  ->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
55 dfac4 7749 . . 3  |-  (CHOICE  <->  A. y E. f ( f  Fn  y  /\  A. z  e.  y  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) ) )
5654, 55sylibr 203 . 2  |-  ( A. xAC  x  =  _V  -> CHOICE )
574, 56impbii 180 1  |-  (CHOICE  <->  A. xAC  x  =  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  AC wacn 7571  CHOICEwac 7742
This theorem is referenced by:  dfac13  7768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743
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