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Theorem dfackm 7980
Description: Equivalence of the Axiom of Choice and Maes' AC ackm 8279. The proof consists of lemmas kmlem1 7964 through kmlem16 7979 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing dfac5 7943 with biid 228) establishes the AC equivalence shown by Maes' writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display. (Contributed by NM, 13-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfackm  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, v, u

Proof of Theorem dfackm
Dummy variables  w  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac5 7943 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
2 eqid 2388 . . . . 5  |-  { t  |  E. h  e.  x  t  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) }  =  { t  |  E. h  e.  x  t  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) }
32kmlem13 7976 . . . 4  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4 kmlem8 7971 . . . . 5  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  \/ 
E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
54albii 1572 . . . 4  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. x ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
63, 5bitri 241 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
7 df-ne 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  v  <->  -.  y  =  v )
87bicomi 194 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  =  v  <->  y  =/=  v )
98anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v
)  <->  ( v  e.  x  /\  y  =/=  v ) )
109anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )
)
1110imbi2i 304 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )
)  <->  ( z  e.  y  ->  ( (
v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )
) )
12 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
13 biid 228 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
1411, 12, 13kmlem16 7979 . . . 4  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
1514albii 1572 . . 3  |-  ( A. x ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  (
z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )
) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
166, 15bitri 241 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
171, 16bitri 241 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2239   {cab 2374    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    \ cdif 3261    i^i cin 3263   (/)c0 3572   {csn 3758   U.cuni 3958  CHOICEwac 7930
This theorem is referenced by:  axac3  8278  ackm  8279  axac2  8280
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ac 7931
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