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Theorem dfackm 7792
Description: Equivalence of the Axiom of Choice and Maes' AC ackm 8092. The proof consists of lemmas kmlem1 7776 through kmlem16 7791 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing dfac5 7755 with biid 227) establishes the AC equivalence shown by Maes' writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display. (Contributed by NM, 13-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfackm  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, v, u

Proof of Theorem dfackm
Dummy variables  w  t  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac5 7755 . 2  |-  (CHOICE  <->  A. x
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  { t  |  E. h  e.  x  t  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) }  =  { t  |  E. h  e.  x  t  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) }
32kmlem13 7788 . . . 4  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4 kmlem8 7783 . . . . 5  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  \/ 
E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
54albii 1553 . . . 4  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. x ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
63, 5bitri 240 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
7 df-ne 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  v  <->  -.  y  =  v )
87bicomi 193 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  =  v  <->  y  =/=  v )
98anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v
)  <->  ( v  e.  x  /\  y  =/=  v ) )
109anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )
)
1110imbi2i 303 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )
)  <->  ( z  e.  y  ->  ( (
v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )
) )
12 biid 227 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
13 biid 227 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
1411, 12, 13kmlem16 7791 . . . 4  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
1514albii 1553 . . 3  |-  ( A. x ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  \/  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  (
z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v )
) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
166, 15bitri 240 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
171, 16bitri 240 1  |-  (CHOICE  <->  A. x E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( ( v  e.  x  /\  -.  y  =  v )  /\  z  e.  v
) ) )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827  CHOICEwac 7742
This theorem is referenced by:  axac3  8090  ackm  8092  axac2  8093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ac 7743
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