Theorem dfbi1gb 238

Description: This proof of dfbi1 226, discovered by Gregory Bush on 8-Mar-2004, has several curious properties. First, it has only 17 steps directly from the axioms and df-bi 220, compared to over 800 steps were the proof of dfbi1 226 expanded into axioms. Second, step 2 demands only the property of "true"; any axiom (or theorem) could be used. It might be thought, therefore, that it is in some sense redundant, but in fact no proof is shorter than this (measured by number of steps). Third, it illustrates how intermediate steps can "blow up" in size even in short proofs. Fourth, the compressed proof is only 182 bytes (or 17 bytes in D-proof notation), but the generated web page is over 200kB with intermediate steps that are essentially incomprehensible to humans (other than Gregory Bush). If there were an obfuscated code contest for proofs, this would be a contender.

Assertion

Ref	Expression
dfbi1gb	|- ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))

Proof of Theorem dfbi1gb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bi 220	. 2 |- -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))
2		ax-1 4	. . 3 |- (ch -> (th -> ch))
3		ax-1 4	. . . . 5 |- (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))))
4		df-bi 220	. . . . . . . . 9 |- -. ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))
5		ax-1 4	. . . . . . . . 9 |- (-. ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> (-. -. (ch -> (th -> ch)) -> -. ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (-. -. (ch -> (th -> ch)) -> -. ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))))
7		ax-3 6	. . . . . . . 8 |- ((-. -. (ch -> (th -> ch)) -> -. ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))) -> (((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch))))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch)))
9		ax-1 4	. . . . . . 7 |- ((((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch))) -> (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> (((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch)))))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> (((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch))))
11		ax-2 5	. . . . . 6 |- ((-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> (((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))) -> -. (ch -> (th -> ch)))) -> ((-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))) -> (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> -. (ch -> (th -> ch)))))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> ((((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps)))) -> -. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))) -> (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> -. (ch -> (th -> ch))))
13	3, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- (-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> -. (ch -> (th -> ch)))
14		ax-3 6	. . . 4 |- ((-. (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))) -> -. (ch -> (th -> ch))) -> ((ch -> (th -> ch)) -> (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))))
15	13, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ((ch -> (th -> ch)) -> (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))))
16	2, 15	ax-mp 7	. 2 |- (-. (((ph <-> ps) -> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))) -> -. (-. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)) -> (ph <-> ps))) -> ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph))))
17	1, 16	ax-mp 7	1 |- ((ph <-> ps) <-> -. ((ph -> ps) -> -. (ps -> ph)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7

This theorem depends on definitions:  df-bi 220

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