Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfbigcup2 Structured version   Unicode version

Theorem dfbigcup2 25744
Description:  Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfbigcup2  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2
Dummy variables  y 
z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 25742 . 2  |-  Rel  Bigcup
2 mptrel 25392 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. x )
3 eqcom 2438 . . 3  |-  ( U. y  =  z  <->  z  =  U. y )
4 vex 2959 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brbigcup 25743 . . 3  |-  ( y
Bigcup z  <->  U. y  =  z )
6 vex 2959 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  _V  <->  y  e.  _V ) )
8 unieq 4024 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
98eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
t  =  U. x  <->  t  =  U. y ) )
107, 9anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  ( y  e. 
_V  /\  t  =  U. y ) ) )
116biantrur 493 . . . . 5  |-  ( t  =  U. y  <->  ( y  e.  _V  /\  t  = 
U. y ) )
1210, 11syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  t  =  U. y ) )
13 eqeq1 2442 . . . 4  |-  ( t  =  z  ->  (
t  =  U. y  <->  z  =  U. y ) )
14 df-mpt 4268 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  U. x
)  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
) }
156, 4, 12, 13, 14brab 4477 . . 3  |-  ( y ( x  e.  _V  |->  U. x ) z  <->  z  =  U. y )
163, 5, 153bitr4i 269 . 2  |-  ( y
Bigcup z  <->  y ( x  e.  _V  |->  U. x
) z )
171, 2, 16eqbrriv 4971 1  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   Bigcupcbigcup 25678
This theorem is referenced by:  fobigcup  25745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-eprel 4494  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-symdif 25663  df-txp 25698  df-bigcup 25702
  Copyright terms: Public domain W3C validator