Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfbigcup2 Unicode version

Theorem dfbigcup2 24439
Description:  Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfbigcup2  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2
Dummy variables  y 
z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 24437 . 2  |-  Rel  Bigcup
2 mptrel 24124 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. x )
3 eqcom 2285 . . 3  |-  ( U. y  =  z  <->  z  =  U. y )
4 vex 2791 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brbigcup 24438 . . 3  |-  ( y
Bigcup z  <->  U. y  =  z )
6 vex 2791 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  _V  <->  y  e.  _V ) )
8 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
98eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
t  =  U. x  <->  t  =  U. y ) )
107, 9anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  ( y  e. 
_V  /\  t  =  U. y ) ) )
116biantrur 492 . . . . 5  |-  ( t  =  U. y  <->  ( y  e.  _V  /\  t  = 
U. y ) )
1210, 11syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  t  =  U. y ) )
13 eqeq1 2289 . . . 4  |-  ( t  =  z  ->  (
t  =  U. y  <->  z  =  U. y ) )
14 df-mpt 4079 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  U. x
)  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
) }
156, 4, 12, 13, 14brab 4287 . . 3  |-  ( y ( x  e.  _V  |->  U. x ) z  <->  z  =  U. y )
163, 5, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( y
Bigcup z  <->  y ( x  e.  _V  |->  U. x
) z )
171, 2, 16eqbrriv 4782 1  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Bigcupcbigcup 24377
This theorem is referenced by:  fobigcup  24440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-eprel 4305  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-symdif 24362  df-txp 24395  df-bigcup 24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator