Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfbigcup2 Unicode version

Theorem dfbigcup2 24510
Description:  Bigcup using maps-to notation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
dfbigcup2  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )

Proof of Theorem dfbigcup2
Dummy variables  y 
z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 24508 . 2  |-  Rel  Bigcup
2 mptrel 24195 . 2  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. x )
3 eqcom 2298 . . 3  |-  ( U. y  =  z  <->  z  =  U. y )
4 vex 2804 . . . 4  |-  z  e. 
_V
54brbigcup 24509 . . 3  |-  ( y
Bigcup z  <->  U. y  =  z )
6 vex 2804 . . . 4  |-  y  e. 
_V
7 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  _V  <->  y  e.  _V ) )
8 unieq 3852 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
98eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
t  =  U. x  <->  t  =  U. y ) )
107, 9anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  ( y  e. 
_V  /\  t  =  U. y ) ) )
116biantrur 492 . . . . 5  |-  ( t  =  U. y  <->  ( y  e.  _V  /\  t  = 
U. y ) )
1210, 11syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
)  <->  t  =  U. y ) )
13 eqeq1 2302 . . . 4  |-  ( t  =  z  ->  (
t  =  U. y  <->  z  =  U. y ) )
14 df-mpt 4095 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  |->  U. x
)  =  { <. x ,  t >.  |  ( x  e.  _V  /\  t  =  U. x
) }
156, 4, 12, 13, 14brab 4303 . . 3  |-  ( y ( x  e.  _V  |->  U. x ) z  <->  z  =  U. y )
163, 5, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( y
Bigcup z  <->  y ( x  e.  _V  |->  U. x
) z )
171, 2, 16eqbrriv 4798 1  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Bigcupcbigcup 24448
This theorem is referenced by:  fobigcup  24511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-eprel 4321  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-symdif 24433  df-txp 24466  df-bigcup 24470
  Copyright terms: Public domain W3C validator