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Theorem dfcon2 17145
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfcon2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y

Proof of Theorem dfcon2
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
2 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e.  Con )
3 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
4 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
5 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
6 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
7 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 17142 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
98ex 423 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Con  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
109ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( J  e.  Con  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
11 topontop 16664 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
121cldopn 16768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  x )  e.  J )
1312adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  \  x )  e.  J
)
14 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
15 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) ) )
16 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( U. J  \  x ) )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1817biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) ) )
19 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
y  =/=  (/)  <->  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) )
2019anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2118, 20bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
2214, 21syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) ) ) )
23 uneq2 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u.  ( U. J  \  x ) ) )
24 undif2 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  u.  ( U. J  \  x ) )  =  ( x  u.  U. J )
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
x  u.  y )  =  ( x  u. 
U. J ) )
2625neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( x  u.  y
)  =/=  U. J  <->  ( x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
2722, 26imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( U. J  \  x )  ->  (
( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  <-> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2827rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. J  \  x
)  e.  J  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
2913, 28syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  (
( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J ) ) )
301cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  U. J )
32 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( x  u.  U. J )  = 
U. J )
3331, 32sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( x  u.  U. J )  =  U. J )
34 ssdif0 3513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  C_  x  <->  ( U. J  \  x )  =  (/) )
35 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  U. J  C_  x
) )
3635, 31jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  ( x  C_  U. J  /\  U. J  C_  x ) ) )
37 eqss 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  U. J  <->  ( x  C_ 
U. J  /\  U. J  C_  x ) )
3836, 37syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( U. J  C_  x  ->  x  =  U. J ) )
3934, 38syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( U. J  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. J
) )
4033, 39embantd 50 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  x  =  U. J ) )
4140orim2d 813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) ) )
42 impexp 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =/=  (/)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) ) )
43 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
44 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( ( U. J  \  x
)  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )
4544necon4d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  ->  ( (
x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) )
46 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4746necon3d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) )  ->  ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  ( x  u. 
U. J )  =/=  U. J ) )
4845, 47impbii 180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
)  <->  ( ( x  u.  U. J )  =  U. J  -> 
( U. J  \  x )  =  (/) ) )
4943, 48imbi12i 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( -.  x  =  (/)  ->  (
( x  u.  U. J )  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
50 pm4.64 361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  x  =  (/)  ->  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =  (/)  \/  ( ( x  u. 
U. J )  = 
U. J  ->  ( U. J  \  x
)  =  (/) ) ) )
5149, 50bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =/=  (/)  ->  (
( U. J  \  x )  =/=  (/)  ->  (
x  u.  U. J
)  =/=  U. J
) )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
5242, 51bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x
)  =/=  (/) )  -> 
( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  <->  ( x  =  (/)  \/  ( ( x  u.  U. J
)  =  U. J  ->  ( U. J  \  x )  =  (/) ) ) )
53 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
5453elpr 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. J }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. J ) )
5541, 52, 543imtr4g 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( x  =/=  (/)  /\  ( U. J  \  x )  =/=  (/) )  ->  ( x  u.  U. J )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
5629, 55syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
5756ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
5857com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
5958imim2d 48 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) ) )
60 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
6160imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( (
x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } ) )
62 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } )  <-> 
( x  e.  J  ->  ( x  e.  (
Clsd `  J )  ->  x  e.  { (/) , 
U. J } ) ) )
6361, 62bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. J } )  <->  ( x  e.  J  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  e.  {
(/) ,  U. J }
) ) )
6459, 63syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
6564alimdv 1607 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )  ->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) ) )
66 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  <->  A. x
( x  e.  J  ->  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
67 dfss2 3169 . . . . . 6  |-  ( ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  C_  {
(/) ,  U. J }  <->  A. x ( x  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. J } ) )
6865, 66, 673imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  C_  { (/) ,  U. J } ) )
691iscon2 17140 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Con  <->  ( J  e.  Top  /\  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7069baib 871 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Con  <->  ( J  i^i  ( Clsd `  J
) )  C_  { (/) , 
U. J } ) )
7168, 70sylibrd 225 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7211, 71syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J )  ->  J  e.  Con ) )
7310, 72impbid2 195 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
74 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
7574neeq2d 2460 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  u.  y )  =/=  X  <->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
7675imbi2d 307 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
77762ralbidv 2585 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/= 
X )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7873, 77bitr4d 247 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  consuba  17146  pconcon  23762  dfcon2OLD  26253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-con 17138
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