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Theorem dfdir2 25291
Description: A directed set (also called a set filtering on the right by Bourbaki) is a preordered set whose every pair of elements has an upper bound. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfdir2  |-  DirRel  =  (PresetRel  i^i  { r  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) } )
Distinct variable group:    x, r, y, z

Proof of Theorem dfdir2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  r  e. 
_V
2 isprsr 25224 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e. PresetRel  <->  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( r  e. PresetRel 
<->  ( Rel  r  /\  ( r  o.  r
)  C_  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
) )
4 3anan32 946 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  r  /\  (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r )  <->  ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
)  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) )
53, 4bitri 240 . . . . . 6  |-  ( r  e. PresetRel 
<->  ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
)  /\  ( r  o.  r )  C_  r
) )
6 codir 5063 . . . . . . 7  |-  ( ( U. U. r  X. 
U. U. r )  C_  ( `' r  o.  r
)  <->  A. x  e.  U. U. r A. y  e. 
U. U. r E. z
( x r z  /\  y r z ) )
7 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x r z  <->  <. x ,  z >.  e.  r
)
8 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
9 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
108, 9opeluu 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  r  ->  ( x  e.  U. U. r  /\  z  e.  U. U. r ) )
1110simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  r  ->  z  e. 
U. U. r )
127, 11sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x r z  ->  z  e.  U. U. r )
1312adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x r z  /\  y r z )  ->  z  e.  U. U. r )
1413pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x r z  /\  y r z )  <-> 
( z  e.  U. U. r  /\  ( x r z  /\  y
r z ) ) )
15 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
16 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
u r z  <->  x r
z ) )
17 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  ->  (
u r z  <->  y r
z ) )
188, 15, 16, 17ralpr 3686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. u  e.  { x ,  y } u
r z  <->  ( x
r z  /\  y
r z ) )
1918anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  U. U. r  /\  A. u  e. 
{ x ,  y } u r z )  <->  ( z  e. 
U. U. r  /\  (
x r z  /\  y r z ) ) )
2014, 19bitr4i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x r z  /\  y r z )  <-> 
( z  e.  U. U. r  /\  A. u  e.  { x ,  y } u r z ) )
21 zfpair 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x ,  y }  e.  _V
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. U. r  =  U. U. r
2322puub 25259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  _V  /\  { x ,  y }  e.  _V )  -> 
( z  e.  ( r  ub  { x ,  y } )  <-> 
( z  e.  U. U. r  /\  A. u  e.  { x ,  y } u r z ) ) )
241, 21, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } )  <->  ( z  e.  U. U. r  /\  A. u  e.  { x ,  y } u
r z ) )
2520, 24bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x r z  /\  y r z )  <-> 
z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) )
2624simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } )  ->  z  e.  U. U. r )
2726pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } )  <->  ( z  e.  U. U. r  /\  z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) ) )
2825, 27bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x r z  /\  y r z )  <-> 
( z  e.  U. U. r  /\  z  e.  ( r  ub  {
x ,  y } ) ) )
2928exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( x r z  /\  y r z )  <->  E. z
( z  e.  U. U. r  /\  z  e.  ( r  ub  {
x ,  y } ) ) )
30 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } )  <->  E. z ( z  e. 
U. U. r  /\  z  e.  ( r  ub  {
x ,  y } ) ) )
3129, 30bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( x r z  /\  y r z )  <->  E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } ) )
32312ralbii 2569 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z ( x r z  /\  y
r z )  <->  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) )
336, 32bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } )  <-> 
( U. U. r  X.  U. U. r ) 
C_  ( `' r  o.  r ) )
345, 33anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( r  e. PresetRel  /\  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) )  <->  ( ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r )  /\  ( r  o.  r
)  C_  r )  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r ) 
C_  ( `' r  o.  r ) ) )
35 anass 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
)  /\  ( r  o.  r )  C_  r
)  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r )  C_  ( `' r  o.  r
) )  <->  ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r )  /\  ( ( r  o.  r )  C_  r  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r ) 
C_  ( `' r  o.  r ) ) ) )
3634, 35bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r )  C_  r
)  /\  ( (
r  o.  r ) 
C_  r  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r )  C_  ( `' r  o.  r
) ) )  <->  ( r  e. PresetRel 
/\  A. x  e.  U. U. r A. y  e. 
U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } ) ) )
3736abbii 2395 . . 3  |-  { r  |  ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r ) 
C_  r )  /\  ( ( r  o.  r )  C_  r  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r ) 
C_  ( `' r  o.  r ) ) ) }  =  {
r  |  ( r  e. PresetRel  /\  A. x  e. 
U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) ) }
38 df-dir 14352 . . 3  |-  DirRel  =  {
r  |  ( ( Rel  r  /\  (  _I  |`  U. U. r
)  C_  r )  /\  ( ( r  o.  r )  C_  r  /\  ( U. U. r  X.  U. U. r ) 
C_  ( `' r  o.  r ) ) ) }
39 df-rab 2552 . . 3  |-  { r  e. PresetRel  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) }  =  { r  |  ( r  e. PresetRel  /\ 
A. x  e.  U. U. r A. y  e. 
U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub 
{ x ,  y } ) ) }
4037, 38, 393eqtr4i 2313 . 2  |-  DirRel  =  {
r  e. PresetRel  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) }
41 dfrab3 3444 . 2  |-  { r  e. PresetRel  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) }  =  (PresetRel  i^i  { r  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) } )
4240, 41eqtri 2303 1  |-  DirRel  =  (PresetRel  i^i  { r  |  A. x  e.  U. U. r A. y  e.  U. U. r E. z  e.  U. U. r z  e.  ( r  ub  { x ,  y } ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {cpr 3641   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694  (class class class)co 5858   DirRelcdir 14350  PresetRelcpresetrel 25215    ub cub 25218
This theorem is referenced by:  isdir2  25292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-dir 14352  df-prs 25223  df-ub 25253
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