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Theorem dfer2 6677
Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfer2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, R
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem dfer2
StepHypRef Expression
1 df-er 6676 . 2  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R ) ) 
C_  R ) )
2 cnvsym 5073 . . . . 5  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
3 cotr 5071 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
42, 3anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
5 unss 3362 . . . 4  |-  ( ( `' R  C_  R  /\  ( R  o.  R
)  C_  R )  <->  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )
6 19.28v 1848 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
76albii 1556 . . . . . . 7  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
8 19.26 1583 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( x R y  ->  y R x )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
97, 8bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( ( x R y  -> 
y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
109albii 1556 . . . . 5  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x
( A. y ( x R y  -> 
y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
11 19.26 1583 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
1210, 11bitr2i 241 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( x R y  ->  y R x )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
134, 5, 123bitr3i 266 . . 3  |-  ( ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
14133anbi3i 1144 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  ( `' R  u.  ( R  o.  R )
)  C_  R )  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x R y  ->  y R x )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
151, 14bitri 240 1  |-  ( R  Er  A  <->  ( Rel  R  /\  dom  R  =  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  ->  y R x )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    u. cun 3163    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    o. ccom 4709   Rel wrel 4710    Er wer 6673
This theorem is referenced by:  iserd  6702  bosser  26270  trer  26330  riscer  26722  prter1  26850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-er 6676
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