MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff13 Unicode version

Theorem dff13 5799
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5452 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z ) )
2 ffn 5405 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
53, 4breldm 4899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F z  ->  x  e.  dom  F )
6 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
85, 7syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F z  ->  x  e.  A )
)
9 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
109, 4breldm 4899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z  ->  y  e.  dom  F )
116eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1210, 11syl5ib 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y F z  -> 
y  e.  A ) )
138, 12anim12d 546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
1413pm4.71rd 616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
15 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  z )
16 fnbrfvb 5579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  z  <-> 
x F z ) )
1715, 16syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  x )  <-> 
x F z ) )
18 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  z )
19 fnbrfvb 5579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  =  z  <-> 
y F z ) )
2018, 19syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  y )  <-> 
y F z ) )
2117, 20bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( F  Fn  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2221anandis 803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2322pm5.32da 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
2414, 23bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
26 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
2827albidv 1615 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
29 19.21v 1843 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
30 19.23v 1844 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
31 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3231eqvinc 2908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  E. z
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )
3332imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
3430, 33bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
3534imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  A. z
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3629, 35bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3728, 36syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
38372albidv 1617 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
39 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x F z  <->  y F
z ) )
4039mo4 2189 . . . . . . 7  |-  ( E* x  x F z  <->  A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4140albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. z A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
42 alrot3 1724 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x A. y
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4341, 42bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
44 r2al 2593 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4538, 43, 443bitr4g 279 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
462, 45syl 15 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4746pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
481, 47bitri 240 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   A.wral 2556   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  dff13f  5800  f1fveq  5802  dff1o6  5807  fcof1  5813  soisoi  5841  fnwelem  6246  smo11  6397  tz7.48lem  6469  omsmo  6668  unxpdomlem3  7085  unfilem2  7138  fofinf1o  7153  inf3lem6  7350  r111  7463  fseqenlem1  7667  fodomacn  7699  alephf1  7728  alephiso  7741  ackbij1lem17  7878  infpssrlem5  7949  fin23lem28  7982  fin1a2lem2  8043  fin1a2lem4  8045  axcc2lem  8078  domtriomlem  8084  cnref1o  10365  om2uzf1oi  11032  reeff1  12416  bitsf1  12653  crt  12862  eulerthlem2  12866  1arith  12990  vdwlem12  13055  xpsff1o  13486  setcmon  13935  yoniso  14075  ghmf1  14727  orbsta  14783  odf1  14891  mvrf1  16186  ply1sclf1  16380  znf1o  16521  cygznlem3  16539  ist0-4  17436  ovolicc2lem4  18895  recosf1o  19913  efif1olem4  19923  basellem4  20337  dvdsmulf1o  20450  lgsqrlem2  20597  lgseisenlem2  20605  pjmf1  22311  unopf1o  22512  erdszelem9  23745  ghomf1olem  24016  axlowdimlem15  24656  injsurinj  25252  trnij  25718  f1opr  26494  grpokerinj  26678  dnnumch3  27247  uvcf1  27344  lindff1  27393  f1veqaeq  28188  injresinj  28215  wlkntrllem5  28349  wlkdvspthlem  28365  fargshiftf1  28382  constr3trllem2  28397  cdleme50f1  31354  dihf11  32079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator