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Theorem dff3 5673
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fssxp 5400 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5637 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
12 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1311, 12spcev 2875 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y )
1410, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
15 funmo 5271 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
162, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
18 eu5 2181 . . . . 5  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
1914, 17, 18sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2019ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
211, 20jca 518 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
22 xpss 4793 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
23 sstr 3187 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
2422, 23mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
25 df-rel 4696 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
2624, 25sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  F )
2726adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Rel  F )
28 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E! y  x F y ) )
29 eumo 2183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y  x F y  ->  E* y  x F y )
3029imim2i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  E! y  x F
y )  ->  (
x  e.  A  ->  E* y  x F
y ) )
3130adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
32 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
33 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
3432, 33syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
35 opelxp1 4722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  x  e.  A )
3634, 35syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
3736exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. y  x F
y  ->  x  e.  A ) )
3837con3d 125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  E. y  x F y ) )
39 exmo 2188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  x F y  \/  E* y  x F y )
4039ori 364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  x F y  ->  E* y  x F y )
4138, 40syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4331, 42pm2.61d 150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  ->  E* y  x F
y )
4443ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  E* y  x F y ) )
4544alimdv 1607 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y ) )
4628, 45syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  ->  A. x E* y  x F
y ) )
4746imp 418 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y )
48 dffun6 5270 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
4927, 47, 48sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Fun  F )
50 dmss 4878 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  dom  ( A  X.  B ) )
51 dmxpss 5107 . . . . . . 7  |-  dom  ( A  X.  B )  C_  A
5250, 51syl6ss 3191 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  A )
53 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x F y  <->  z F
y ) )
5453eubidv 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  z F y ) )
5554rspccv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  E! y  z F y ) )
56 euex 2166 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  z F y  ->  E. y  z F y )
57 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5857eldm 4876 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  F  <->  E. y 
z F y )
5956, 58sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  z F y  ->  z  e.  dom  F )
6055, 59syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  dom  F
) )
6160ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  ->  A  C_  dom  F )
6252, 61anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ( dom  F  C_  A  /\  A  C_  dom  F ) )
63 eqss 3194 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  A  <->  ( dom  F 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  F ) )
6462, 63sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  dom  F  =  A )
65 df-fn 5258 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6649, 64, 65sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F  Fn  A
)
67 rnss 4907 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  ran  ( A  X.  B ) )
68 rnxpss 5108 . . . . 5  |-  ran  ( A  X.  B )  C_  B
6967, 68syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  B )
7069adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ran  F  C_  B
)
71 df-f 5259 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
7266, 70, 71sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F : A --> B )
7321, 72impbii 180 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   E*wmo 2144   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  dff4  5674  seqomlem2  6463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
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