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Theorem dff3 5822
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fssxp 5543 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
2 ffun 5534 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
32adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
4 fdm 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
54eleq2d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
65biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F
)
7 funfvop 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  <. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
83, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  -> 
<. x ,  ( F `
 x ) >.  e.  F )
9 df-br 4155 . . . . . . 7  |-  ( x F ( F `  x )  <->  <. x ,  ( F `  x
) >.  e.  F )
108, 9sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x F ( F `
 x ) )
11 fvex 5683 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
12 breq2 4158 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x F y  <->  x F
( F `  x
) ) )
1311, 12spcev 2987 . . . . . 6  |-  ( x F ( F `  x )  ->  E. y  x F y )
1410, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E. y  x F y )
15 funmo 5411 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
162, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  E* y  x F
y )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E* y  x F y )
18 eu5 2277 . . . . 5  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
1914, 17, 18sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  E! y  x F y )
2019ralrimiva 2733 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
211, 20jca 519 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
22 xpss 4923 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
23 sstr 3300 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( _V  X.  _V )
)  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
2422, 23mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  F  C_  ( _V  X.  _V ) )
25 df-rel 4826 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  Rel  F )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Rel  F )
28 df-ral 2655 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E! y  x F y ) )
29 eumo 2279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y  x F y  ->  E* y  x F y )
3029imim2i 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  E! y  x F
y )  ->  (
x  e.  A  ->  E* y  x F
y ) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
32 df-br 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
33 ssel 3286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
3432, 33syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
) ) )
35 opelxp1 4852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  x  e.  A )
3634, 35syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  ->  x  e.  A )
)
3736exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E. y  x F
y  ->  x  e.  A ) )
3837con3d 127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  -.  E. y  x F y ) )
39 exmo 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  x F y  \/  E* y  x F y )
4039ori 365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
E. y  x F y  ->  E* y  x F y )
4138, 40syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
4331, 42pm2.61d 152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  A  ->  E! y  x F
y ) )  ->  E* y  x F
y )
4443ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  E* y  x F y ) )
4544alimdv 1628 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y ) )
4628, 45syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  ->  A. x E* y  x F
y ) )
4746imp 419 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  A. x E* y  x F y )
48 dffun6 5410 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
4927, 47, 48sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  Fun  F )
50 dmss 5010 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  dom  ( A  X.  B ) )
51 dmxpss 5241 . . . . . . 7  |-  dom  ( A  X.  B )  C_  A
5250, 51syl6ss 3304 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  dom  F 
C_  A )
53 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x F y  <->  z F
y ) )
5453eubidv 2247 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  z F y ) )
5554rspccv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  E! y  z F y ) )
56 euex 2262 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  z F y  ->  E. y  z F y )
57 vex 2903 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5857eldm 5008 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  F  <->  E. y 
z F y )
5956, 58sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  z F y  ->  z  e.  dom  F )
6055, 59syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  -> 
( z  e.  A  ->  z  e.  dom  F
) )
6160ssrdv 3298 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  ->  A  C_  dom  F )
6252, 61anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ( dom  F  C_  A  /\  A  C_  dom  F ) )
63 eqss 3307 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  A  <->  ( dom  F 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  F ) )
6462, 63sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  dom  F  =  A )
65 df-fn 5398 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  <->  ( Fun  F  /\  dom  F  =  A ) )
6649, 64, 65sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F  Fn  A
)
67 rnss 5039 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  ran  ( A  X.  B ) )
68 rnxpss 5242 . . . . 5  |-  ran  ( A  X.  B )  C_  B
6967, 68syl6ss 3304 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ran  F 
C_  B )
7069adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  ran  F  C_  B
)
71 df-f 5399 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
7266, 70, 71sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  ->  F : A --> B )
7321, 72impbii 181 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2239   E*wmo 2240   A.wral 2650   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   <.cop 3761   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820   Rel wrel 4824   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395
This theorem is referenced by:  dff4  5823  seqomlem2  6645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403
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