MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dff4 Unicode version

Theorem dff4 5690
Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
dff4  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F
y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem dff4
StepHypRef Expression
1 dff3 5689 . 2  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y ) )
2 df-br 4040 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
3 ssel 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B ) ) )
4 opelxp2 4739 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  y  e.  B )
53, 4syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
62, 5syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  -> 
y  e.  B ) )
76pm4.71rd 616 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
x F y  <->  ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
87eubidv 2164 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y ( y  e.  B  /\  x F y ) ) )
9 df-reu 2563 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  x F y  <->  E! y
( y  e.  B  /\  x F y ) )
108, 9syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( E! y  x F
y  <->  E! y  e.  B  x F y ) )
1110ralbidv 2576 . . 3  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  E! y  x F
y  <->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
1211pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  x F y )  <-> 
( F  C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F y ) )
131, 12bitri 240 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x F
y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   E!weu 2156   A.wral 2556   E!wreu 2558    C_ wss 3165   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  exfo  5694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator