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Theorem dffi2 7192
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains  A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, V, z
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
3 elfi 7183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( fi `  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
42, 3mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) t  =  |^| x ) )
54biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
6 df-rex 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  <->  E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x ) )
7 fiint 7149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z  <->  A. x ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z ) )
8 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
98sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
10 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
12113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  A
)
13 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  A  C_  z
)
1412, 13sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  z
)
15 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  _V  <->  |^| x  e.  _V )
)
162, 15mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
17 intex 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =/=  (/)  <->  |^| x  e.  _V )
1816, 17sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
19183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
20 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
2120sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
22213ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
2314, 19, 223jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin ) )
24233expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin ) ) )
25 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) )
2624, 25syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) ) )
27 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  z  <->  |^| x  e.  z
) )
2827biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2928adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) ) )
3126, 30syldd 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  t  e.  z ) ) )
3231com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) ) )
3332alimdv 1611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x ( ( x 
C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
347, 33syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  ->  A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
3534imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
36 19.23v 1844 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z )  <-> 
( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) )
3735, 36sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
386, 37syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  ->  t  e.  z ) )
395, 38sylan9 638 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( t  e.  ( fi `  A )  ->  t  e.  z ) )
4039ssrdv 3198 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( fi `  A
)  C_  z )
4140ex 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
4241alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z
( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
43 ssintab 3895 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  A. z ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z ) )
4442, 43sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  |^|
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
45 ssfii 7188 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
46 fiin 7191 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
4746rgen2a 2622 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) )
49 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
50 sseq2 3213 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A  C_  z  <->  A  C_  ( fi `  A ) ) )
51 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5251raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5352raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5450, 53anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <-> 
( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) ) ) )
5549, 54elab 2927 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  ( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5645, 48, 55sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  e. 
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
57 intss1 3893 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5856, 57syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5944, 58eqssd 3209 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
601, 59syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878   ` cfv 5271   Fincfn 6879   ficfi 7180
This theorem is referenced by:  fiss  7193  inficl  7194  dffi3  7200  fbssfi  17548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181
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