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Theorem dffi2 7176
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains  A and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    y, V, z
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
3 elfi 7167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( fi `  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
42, 3mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) t  =  |^| x ) )
54biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  e.  ( fi
`  A )  ->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x
) )
6 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  <->  E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x ) )
7 fiint 7133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z  <->  A. x ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z ) )
8 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
98sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
10 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
12113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  A
)
13 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  A  C_  z
)
1412, 13sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  C_  z
)
15 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  _V  <->  |^| x  e.  _V )
)
162, 15mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
17 intex 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =/=  (/)  <->  |^| x  e.  _V )
1816, 17sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
19183ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
20 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
2120sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
22213ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
2314, 19, 223jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  z  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin ) )
24233expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin ) ) )
25 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) )
2624, 25syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  |^| x  e.  z ) ) )
27 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( t  e.  z  <->  |^| x  e.  z
) )
2827biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  |^| x  -> 
( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
2928adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) )
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  ( |^| x  e.  z  ->  t  e.  z ) ) )
3126, 30syldd 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  t  e.  z ) ) )
3231com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  z  ->  (
( ( x  C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  (
( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) ) )
3332alimdv 1607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x ( ( x 
C_  z  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e. 
Fin )  ->  |^| x  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
347, 33syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  z  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  ->  A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z ) ) )
3534imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  A. x
( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
36 19.23v 1832 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  -> 
t  e.  z )  <-> 
( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  =  |^| x )  ->  t  e.  z ) )
3735, 36sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  t  = 
|^| x )  -> 
t  e.  z ) )
386, 37syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
t  =  |^| x  ->  t  e.  z ) )
395, 38sylan9 638 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( t  e.  ( fi `  A )  ->  t  e.  z ) )
4039ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) )  -> 
( fi `  A
)  C_  z )
4140ex 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
4241alrimiv 1617 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A. z
( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z
) )
43 ssintab 3879 . . . 4  |-  ( ( fi `  A ) 
C_  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  A. z ( ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z )  ->  ( fi `  A )  C_  z ) )
4442, 43sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  |^|
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
45 ssfii 7172 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
46 fiin 7175 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
4746rgen2a 2609 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) )
49 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
50 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A  C_  z  <->  A  C_  ( fi `  A ) ) )
51 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5251raleqbi1dv 2744 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5352raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5450, 53anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( fi `  A )  ->  (
( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z )  <-> 
( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) ) ) )
5549, 54elab 2914 . . . . 5  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  <->  ( A  C_  ( fi `  A )  /\  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A ) ) )
5645, 48, 55sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  e. 
{ z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
57 intss1 3877 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z 
A. y  e.  z  ( x  i^i  y
)  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5856, 57syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }  C_  ( fi `  A ) )
5944, 58eqssd 3196 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
601, 59syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { z  |  ( A  C_  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  (
x  i^i  y )  e.  z ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   ` cfv 5255   Fincfn 6863   ficfi 7164
This theorem is referenced by:  fiss  7177  inficl  7178  dffi3  7184  fbssfi  17532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165
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