MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin1-5 Unicode version

Theorem dffin1-5 8030
Description: Compact quantifier-free version of the standard definition df-fin 6883. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin1-5  |-  Fin  =  (  ~~  " om )

Proof of Theorem dffin1-5
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensymb 6925 . . . 4  |-  ( x 
~~  y  <->  y  ~~  x )
21rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  x  ~~  y  <->  E. y  e.  om  y  ~~  x )
32abbii 2408 . 2  |-  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }  =  { x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
4 df-fin 6883 . 2  |-  Fin  =  { x  |  E. y  e.  om  x  ~~  y }
5 dfima2 5030 . 2  |-  (  ~~  " om )  =  {
x  |  E. y  e.  om  y  ~~  x }
63, 4, 53eqtr4i 2326 1  |-  Fin  =  (  ~~  " om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632   {cab 2282   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   omcom 4672   "cima 4708    ~~ cen 6876   Fincfn 6879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883
  Copyright terms: Public domain W3C validator