MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin7-2 Structured version   Unicode version

Theorem dffin7-2 8278
Description: Class form of isfin7-2 8276. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin7-2  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )

Proof of Theorem dffin7-2
StepHypRef Expression
1 imor 402 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  card  ->  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
2 vex 2959 . . . 4  |-  x  e. 
_V
3 isfin7-2 8276 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e. FinVII 
<->  ( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) ) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
( x  e.  dom  card 
->  x  e.  Fin ) )
5 elun 3488 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) ) )
6 orcom 377 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  x  e.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  \/  x  e. 
Fin ) )
7 eldif 3330 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  dom  card ) )
82, 7mpbiran 885 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \  dom  card )  <->  -.  x  e.  dom  card )
98orbi1i 507 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( _V 
\  dom  card )  \/  x  e.  Fin )  <->  ( -.  x  e.  dom  card 
\/  x  e.  Fin ) )
105, 6, 93bitri 263 . . 3  |-  ( x  e.  ( Fin  u.  ( _V  \  dom  card ) )  <->  ( -.  x  e.  dom  card  \/  x  e.  Fin )
)
111, 4, 103bitr4i 269 . 2  |-  ( x  e. FinVII  <-> 
x  e.  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) ) )
1211eqriv 2433 1  |- FinVII  =  ( Fin 
u.  ( _V  \  dom  card ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318   dom cdm 4878   Fincfn 7109   cardccrd 7822  FinVIIcfin7 8164
This theorem is referenced by:  dfacfin7  8279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-fin7 8171
  Copyright terms: Public domain W3C validator