Theorem dffo3 3819

Description: An onto mapping expressed in terms of function values.

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 3675	. 2 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ ran F = B))
2		ffn 3627	. . . . 5 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3		fnrnfv 3759	. . . . . 6 |- (F Fn A -> ran F = {y | E.x e. A y = (F` x)})
4	3	eqeq1d 1483	. . . . 5 |- (F Fn A -> (ran F = B <-> {y | E.x e. A y = (F` x)} = B))
5	2, 4	syl 10	. . . 4 |- (F:A-->B -> (ran F = B <-> {y | E.x e. A y = (F` x)} = B))
6		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> y = (F` x))
7		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:A-->B /\ x e. A) -> (F` x) e. B)
8	7	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> (F` x) e. B)
9	6, 8	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . 10 |- (((F:A-->B /\ x e. A) /\ y = (F` x)) -> y e. B)
10	9	exp31 376	. . . . . . . . 9 |- (F:A-->B -> (x e. A -> (y = (F` x) -> y e. B)))
11	10	r19.23adv 1746	. . . . . . . 8 |- (F:A-->B -> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
12	11	biantrurd 727	. . . . . . 7 |- (F:A-->B -> ((y e. B -> E.x e. A y = (F` x)) <-> ((E.x e. A y = (F` x) -> y e. B) /\ (y e. B -> E.x e. A y = (F` x)))))
13		dfbi2 514	. . . . . . 7 |- ((E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> ((E.x e. A y = (F` x) -> y e. B) /\ (y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
14	12, 13	syl6rbbr 539	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> ((E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> (y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
15	14	albidv 1278	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (A.y(E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B) <-> A.y(y e. B -> E.x e. A y = (F` x))))
16		abeq1 1569	. . . . 5 |- ({y | E.x e. A y = (F` x)} = B <-> A.y(E.x e. A y = (F` x) <-> y e. B))
17		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.y e. B E.x e. A y = (F` x) <-> A.y(y e. B -> E.x e. A y = (F` x)))
18	15, 16, 17	3bitr4g 555	. . . 4 |- (F:A-->B -> ({y | E.x e. A y = (F` x)} = B <-> A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
19	5, 18	bitrd 528	. . 3 |- (F:A-->B -> (ran F = B <-> A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
20	19	pm5.32i 645	. 2 |- ((F:A-->B /\ ran F = B) <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))
21	1, 20	bitr 173	1 |- (F:A-onto->B <-> (F:A-->B /\ A.y e. B E.x e. A y = (F` x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  ran crn 3171   Fn wfn 3177  -->wf 3178  -onto->wfo 3180  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  dffo4 3820  fooprval 4037  icoshftf1oi 6409  efifo 8729  effoi 8745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain