Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffr5 Unicode version

Theorem dffr5 24110
Description: A quantifier free definition of a well-founded relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffr5  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )

Proof of Theorem dffr5
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
2 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
32elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
4 elsn 3655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
54necon3bbii 2477 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  { (/) }  <-> 
x  =/=  (/) )
63, 5anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/)
} )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
71, 6bitri 240 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
8 brdif 4071 . . . . . . 7  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  _E  x  /\  -.  y
(  _E  o.  `' R ) x ) )
9 epel 4308 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
10 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1110, 2coep 24108 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  _E  o.  `' R ) x  <->  E. z  e.  x  y `' R z )
12 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1310, 12brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1413rexbii 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  y `' R z  <->  E. z  e.  x  z R
y )
15 dfrex2 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  z R y  <->  -.  A. z  e.  x  -.  z R y )
1611, 14, 153bitrri 263 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  e.  x  -.  z R y  <->  y (  _E  o.  `' R ) x )
1716con1bii 321 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y (  _E  o.  `' R ) x  <->  A. z  e.  x  -.  z R y )
189, 17anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( y  _E  x  /\  -.  y (  _E  o.  `' R ) x )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
198, 18bitri 240 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2019exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y  y (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
212elrn 4919 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y 
y (  _E  \ 
(  _E  o.  `' R ) ) x )
22 df-rex 2549 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2320, 21, 223bitr4i 268 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
247, 23imbi12i 316 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2524albii 1553 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  A. x ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
26 dfss2 3169 . 2  |-  ( ( ~P A  \  { (/)
} )  C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) )  <->  A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) ) )
27 df-fr 4352 . 2  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2825, 26, 273bitr4ri 269 1  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    _E cep 4303    Fr wfr 4349   `'ccnv 4688   ran crn 4690    o. ccom 4693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-eprel 4305  df-fr 4352  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator