Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffr5 Structured version   Unicode version

Theorem dffr5 25407
Description: A quantifier free definition of a well-founded relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffr5  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )

Proof of Theorem dffr5
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3316 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
2 vex 2965 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
32elpw 3829 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
4 elsn 3853 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
54necon3bbii 2638 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  { (/) }  <-> 
x  =/=  (/) )
63, 5anbi12i 680 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  -.  x  e.  { (/)
} )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
71, 6bitri 242 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  <->  ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) ) )
8 brdif 4285 . . . . . . 7  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  _E  x  /\  -.  y
(  _E  o.  `' R ) x ) )
9 epel 4526 . . . . . . . 8  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
10 vex 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1110, 2coep 25405 . . . . . . . . . 10  |-  ( y (  _E  o.  `' R ) x  <->  E. z  e.  x  y `' R z )
12 vex 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
1310, 12brcnv 5084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
1413rexbii 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  y `' R z  <->  E. z  e.  x  z R
y )
15 dfrex2 2724 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  x  z R y  <->  -.  A. z  e.  x  -.  z R y )
1611, 14, 153bitrri 265 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  e.  x  -.  z R y  <->  y (  _E  o.  `' R ) x )
1716con1bii 323 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y (  _E  o.  `' R ) x  <->  A. z  e.  x  -.  z R y )
189, 17anbi12i 680 . . . . . . 7  |-  ( ( y  _E  x  /\  -.  y (  _E  o.  `' R ) x )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
198, 18bitri 242 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2019exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. y  y (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) x  <->  E. y ( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
212elrn 5139 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y 
y (  _E  \ 
(  _E  o.  `' R ) ) x )
22 df-rex 2717 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y  <->  E. y
( y  e.  x  /\  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2320, 21, 223bitr4i 270 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
247, 23imbi12i 318 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  ( (
x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2524albii 1576 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) )  <->  A. x ( ( x 
C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
26 dfss2 3323 . 2  |-  ( ( ~P A  \  { (/)
} )  C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) )  <->  A. x ( x  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  ->  x  e.  ran  (  _E 
\  (  _E  o.  `' R ) ) ) )
27 df-fr 4570 . 2  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
2825, 26, 273bitr4ri 271 1  |-  ( R  Fr  A  <->  ( ~P A  \  { (/) } ) 
C_  ran  (  _E  \  (  _E  o.  `' R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712    \ cdif 3303    C_ wss 3306   (/)c0 3613   ~Pcpw 3823   {csn 3838   class class class wbr 4237    _E cep 4521    Fr wfr 4567   `'ccnv 4906   ran crn 4908    o. ccom 4911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-br 4238  df-opab 4292  df-eprel 4523  df-fr 4570  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918
  Copyright terms: Public domain W3C validator