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Theorem dffun2 5464
Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2
StepHypRef Expression
1 df-fun 5456 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A )  C_  _I  ) )
2 df-id 4498 . . . . . 6  |-  _I  =  { <. y ,  z
>.  |  y  =  z }
32sseq2i 3373 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  ( A  o.  `' A )  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
4 df-co 4887 . . . . . 6  |-  ( A  o.  `' A )  =  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) }
54sseq1i 3372 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
6 ssopab2b 4481 . . . . 5  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
73, 5, 63bitri 263 . . . 4  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
8 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108, 9brcnv 5055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
1110anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `' A x  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A z ) )
1211exbii 1592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  <->  E. x
( x A y  /\  x A z ) )
1312imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
14 19.23v 1914 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1513, 14bitr4i 244 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1615albii 1575 . . . . . 6  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
17 alcom 1752 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
1816, 17bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1918albii 1575 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
20 alcom 1752 . . . 4  |-  ( A. y A. x A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
217, 19, 203bitri 263 . . 3  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2221anbi2i 676 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A
)  C_  _I  )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) ) )
231, 22bitri 241 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   {copab 4265    _I cid 4493   `'ccnv 4877    o. ccom 4882   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448
This theorem is referenced by:  dffun3  5465  dffun4  5466  fliftfun  6034  fpwwe2lem11  8515  fclim  12347  invfun  13989  lmfun  17445  ulmdm  20309  fundmpss  25390  fununiq  25394  wfrlem5  25542  wfrlem11  25548  frrlem5  25586  frrlem5c  25588  fnsingle  25764  funimage  25773  funpartfun  25788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-cnv 4886  df-co 4887  df-fun 5456
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