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Theorem dffun2 5265
Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2
StepHypRef Expression
1 df-fun 5257 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A )  C_  _I  ) )
2 df-id 4309 . . . . . 6  |-  _I  =  { <. y ,  z
>.  |  y  =  z }
32sseq2i 3203 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  ( A  o.  `' A )  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
4 df-co 4698 . . . . . 6  |-  ( A  o.  `' A )  =  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) }
54sseq1i 3202 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
6 ssopab2b 4291 . . . . 5  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
73, 5, 63bitri 262 . . . 4  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
8 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108, 9brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
1110anbi1i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `' A x  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A z ) )
1211exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  <->  E. x
( x A y  /\  x A z ) )
1312imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
14 19.23v 1832 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1513, 14bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1615albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
17 alcom 1711 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
1816, 17bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1918albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
20 alcom 1711 . . . 4  |-  ( A. y A. x A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
217, 19, 203bitri 262 . . 3  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2221anbi2i 675 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A
)  C_  _I  )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) ) )
231, 22bitri 240 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   {copab 4076    _I cid 4304   `'ccnv 4688    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  dffun3  5266  dffun4  5267  fliftfun  5811  fpwwe2lem11  8262  fclim  12027  invfun  13666  lmfun  17109  fundmpss  24122  fununiq  24126  wfrlem5  24260  wfrlem11  24266  frrlem5  24285  frrlem5c  24287  dffun10  24453  fnsingle  24458  funimage  24467  funpartfun  24481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-cnv 4697  df-co 4698  df-fun 5257
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