MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun5 Structured version   Unicode version

Theorem dffun5 5496
Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun5  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5
StepHypRef Expression
1 dffun3 5494 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
2 df-br 4238 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
32imbi1i 317 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  -> 
y  =  z )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )
43albii 1576 . . . . 5  |-  ( A. y ( x A y  ->  y  =  z )  <->  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )
54exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z )  <->  E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) )
65albii 1576 . . 3  |-  ( A. x E. z A. y
( x A y  ->  y  =  z )  <->  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) )
76anbi2i 677 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( x A y  ->  y  =  z ) )  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
81, 7bitri 242 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1727   <.cop 3841   class class class wbr 4237   Rel wrel 4912   Fun wfun 5477
This theorem is referenced by:  funimaexg  5559  uzrdgfni  11329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-br 4238  df-opab 4292  df-id 4527  df-cnv 4915  df-co 4916  df-fun 5485
  Copyright terms: Public domain W3C validator