MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffun5 Unicode version

Theorem dffun5 5268
Description: Alternate definition of function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun5  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5
StepHypRef Expression
1 dffun3 5266 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( x A y  ->  y  =  z ) ) )
2 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( x A y  <->  <. x ,  y >.  e.  A
)
32imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( x A y  -> 
y  =  z )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )
43albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. y ( x A y  ->  y  =  z )  <->  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )
54exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. z A. y ( x A y  -> 
y  =  z )  <->  E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) )
65albii 1553 . . 3  |-  ( A. x E. z A. y
( x A y  ->  y  =  z )  <->  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) )
76anbi2i 675 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( x A y  ->  y  =  z ) )  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
81, 7bitri 240 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  funimaexg  5329  uzrdgfni  11021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-cnv 4697  df-co 4698  df-fun 5257
  Copyright terms: Public domain W3C validator