Theorem dffun7 3526

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun6 3525.

Assertion

Ref	Expression
dffun7	|- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dffun7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 3519	. . 3 |- (Fun A -> Rel A)
2		ax-17 968	. . . . . 6 |- (Fun A -> A.yFun A)
3		hbeu1 1381	. . . . . 6 |- (E!y<.x, y>. e. A -> A.yE!y<.x, y>. e. A)
4		funeu2 3524	. . . . . . 7 |- ((Fun A /\ <.x, y>. e. A) -> E!y<.x, y>. e. A)
5	4	ex 373	. . . . . 6 |- (Fun A -> (<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
6	2, 3, 5	19.23ad 1062	. . . . 5 |- (Fun A -> (E.y<.x, y>. e. A -> E!y<.x, y>. e. A))
7		visset 1804	. . . . . 6 |- x e. V
8	7	eldm2 3297	. . . . 5 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
9		df-br 2610	. . . . . 6 |- (xAy <-> <.x, y>. e. A)
10	9	eubii 1380	. . . . 5 |- (E!y xAy <-> E!y<.x, y>. e. A)
11	6, 8, 10	3imtr4g 551	. . . 4 |- (Fun A -> (x e. dom A -> E!y xAy))
12	11	r19.21aiv 1705	. . 3 |- (Fun A -> A.x e. dom AE!y xAy)
13	1, 12	jca 288	. 2 |- (Fun A -> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))
14		eumo 1404	. . . . 5 |- (E!y xAy -> E*y xAy)
15	14	r19.20si 1698	. . . 4 |- (A.x e. dom AE!y xAy -> A.x e. dom AE*y xAy)
16	15	anim2i 335	. . 3 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
17		dffun6 3525	. . 3 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE*y xAy))
18	16, 17	sylibr 200	. 2 |- ((Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy) -> Fun A)
19	13, 18	impbi 157	1 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.x e. dom AE!y xAy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wex 977  E!weu 1373  E*wmo 1374  A.wral 1637  <.cop 2401   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  Rel wrel 3165  Fun wfun 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-fun 3182

Copyright terms: Public domain