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Theorem dfif5 3687
Description: Alternate definition of the conditional operator df-if 3676. Note that  ph is independent of  x i.e. a constant true or false (see also abvor0 3581). (Contributed by Gérard Lang, 18-Aug-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
dfif3.1  |-  C  =  { x  |  ph }
Assertion
Ref Expression
dfif5  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem dfif5
StepHypRef Expression
1 inindi 3494 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) ) )
2 dfif3.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  ph }
32dfif4 3686 . 2  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( ( A  u.  ( _V  \  C ) )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
4 undir 3526 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
5 unidm 3426 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  A )  =  A
65uneq1i 3433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
7 unass 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  A )  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
8 undi 3524 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
96, 7, 83eqtr3ri 2409 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
10 undi 3524 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( A  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )
11 undifabs 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( A  \  B ) )  =  A
1211ineq1i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( A  u.  C ) )  =  ( A  i^i  ( A  u.  C )
)
13 inabs 3508 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( A  u.  C ) )  =  A
1410, 12, 133eqtri 2404 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  A
15 undif2 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
1615ineq1i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )
17 undi 3524 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( A  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )
1816, 17, 83eqtr4i 2410 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) )
1914, 18uneq12i 3435 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C ) )  u.  ( A  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( A  u.  ( A  u.  ( B  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
209, 19eqtr4i 2403 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
21 unundi 3444 . . . . 5  |-  ( A  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( A  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( A  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
2220, 21eqtr4i 2403 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( A  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
23 unass 3440 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )
24 undi 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( ( B  u.  A
)  i^i  ( B  u.  C ) )
25 uncom 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  ( A  i^i  C ) )
26 undif2 3640 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  ( B  u.  A
)
2726ineq1i 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ( A 
\  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( B  u.  A )  i^i  ( B  u.  C )
)
2824, 25, 273eqtr4i 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
29 undi 3524 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( A 
\  B )  i^i 
C ) )  =  ( ( B  u.  ( A  \  B ) )  i^i  ( B  u.  C ) )
3028, 29eqtr4i 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)
31 undi 3524 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) )  =  ( ( B  u.  ( B  \  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
32 undifabs 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( B  u.  ( B  \  A ) )  =  B
3332ineq1i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ( B 
\  A ) )  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )
34 inabs 3508 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( B  u.  ( _V  \  C ) ) )  =  B
3531, 33, 343eqtrri 2405 . . . . . . 7  |-  B  =  ( B  u.  (
( B  \  A
)  i^i  ( _V  \  C ) ) )
3630, 35uneq12i 3435 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  B )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
37 unidm 3426 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  B )  =  B
3837uneq2i 3434 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  u.  B ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
3923, 36, 383eqtr3ri 2409 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( B  u.  ( ( A  \  B )  i^i  C
) )  u.  ( B  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
40 uncom 3427 . . . . . . 7  |-  ( B  u.  C )  =  ( C  u.  B
)
4140ineq2i 3475 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
42 undir 3526 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  B )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( C  u.  B )
)
4341, 42eqtr4i 2403 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  B )
44 unundi 3444 . . . . 5  |-  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( B  u.  (
( A  \  B
)  i^i  C )
)  u.  ( B  u.  ( ( B 
\  A )  i^i  ( _V  \  C
) ) ) )
4539, 43, 443eqtr4i 2410 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C ) )  =  ( B  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
4622, 45ineq12i 3476 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C
) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C )
) )  =  ( ( A  u.  (
( ( A  \  B )  i^i  C
)  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  i^i  ( B  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) ) )
474, 46eqtr4i 2403 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( ( A  \  B )  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )  =  ( ( ( A  u.  B )  i^i  ( A  u.  ( _V  \  C ) ) )  i^i  ( ( A  u.  B )  i^i  ( B  u.  C
) ) )
481, 3, 473eqtr4i 2410 1  |-  if (
ph ,  A ,  B )  =  ( ( A  i^i  B
)  u.  ( ( ( A  \  B
)  i^i  C )  u.  ( ( B  \  A )  i^i  ( _V  \  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649   {cab 2366   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255   ifcif 3675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676
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