Theorem dfinfmr 6069

Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals A.

Assertion

Ref	Expression
dfinfmr	|- (A (_ RR -> sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem dfinfmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenltt 5522	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x <_ y <-> -. y < x))
2		visset 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. V
3		visset 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
4	2, 3	brcnv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- (x`' < y <-> y < x)
5	4	negbii 187	. . . . . . . . . 10 |- (-. x`' < y <-> -. y < x)
6	1, 5	syl6rbbr 541	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
7		ssel2 2067	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
8	6, 7	sylan2 453	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ (A (_ RR /\ y e. A)) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
9	8	ancoms 438	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
10	9	an1rs 491	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x`' < y <-> x <_ y))
11	10	ralbidva 1662	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x`' < y <-> A.y e. A x <_ y))
12	3, 2	brcnv 3305	. . . . . . . 8 |- (y`' < x <-> x < y)
13		visset 1816	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
14	3, 13	brcnv 3305	. . . . . . . . 9 |- (y`' < z <-> z < y)
15	14	rexbii 1671	. . . . . . . 8 |- (E.z e. A y`' < z <-> E.z e. A z < y)
16	12, 15	imbi12i 188	. . . . . . 7 |- ((y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> (x < y -> E.z e. A z < y))
17	16	ralbii 1670	. . . . . 6 |- (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))
18	17	a1i 8	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z) <-> A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y)))
19	11, 18	anbi12d 630	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z)) <-> (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))))
20	19	rabbidv 1809	. . 3 |- (A (_ RR -> {x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))} = {x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})
21	20	unieqd 2516	. 2 |- (A (_ RR -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))} = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})
22		df-sup 4583	. 2 |- sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A -. x`' < y /\ A.y e. RR (y`' < x -> E.z e. A y`' < z))}
23	21, 22	syl5eq 1522	1 |- (A (_ RR -> sup(A, RR, `' < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A x <_ y /\ A.y e. RR (x < y -> E.z e. A z < y))})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  `'ccnv 3175  supcsup 4582  RRcr 5245   <_ cle 5307   < clt 5498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-sup 4583  df-xr 5501  df-le 5503

Copyright terms: Public domain