MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfinfmr Unicode version

Theorem dfinfmr 9731
Description: The infimum (expressed as supremum with converse 'less-than') of a set of reals  A. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
dfinfmr  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dfinfmr
StepHypRef Expression
1 df-sup 7194 . 2  |-  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }
2 ssel2 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
3 lenlt 8901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
4 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `'  <  y  <->  y  <  x )
76notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x `'  <  y  <->  -.  y  <  x )
83, 7syl6rbbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
92, 8sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
109ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1110an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  x `'  <  y  <->  x  <_  y ) )
1211ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
135, 4brcnv 4864 . . . . . . . 8  |-  ( y `'  <  x  <->  x  <  y )
14 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
155, 14brcnv 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( y `'  <  z  <->  z  <  y )
1615rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  A  y `'  <  z  <->  E. z  e.  A  z  <  y )
1713, 16imbi12i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <-> 
( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1817ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) )
1918a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  RR  ( y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z )  <->  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) )
2012, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) ) )
2120rabbidva 2779 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  <  y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
2221unieqd 3838 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  U. {
x  e.  RR  | 
( A. y  e.  A  -.  x `'  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y `'  <  x  ->  E. z  e.  A  y `'  <  z ) ) }  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
231, 22syl5eq 2327 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  `'  <  )  =  U. { x  e.  RR  |  ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  A. y  e.  RR  ( x  < 
y  ->  E. z  e.  A  z  <  y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   supcsup 7193   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-cnv 4697  df-sup 7194  df-xr 8871  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator