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Theorem dflt2 10482
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2  |-  <  =  (  <_  \  _I  )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 8887 . 2  |-  Rel  <
2 difss 3303 . . 3  |-  (  <_  \  _I  )  C_  <_
3 lerel 8889 . . 3  |-  Rel  <_
4 relss 4775 . . 3  |-  ( (  <_  \  _I  )  C_ 
<_  ->  ( Rel  <_  ->  Rel  (  <_  \  _I  ) ) )
52, 3, 4mp2 17 . 2  |-  Rel  (  <_  \  _I  )
6 ltrelxr 8886 . . . 4  |-  <  C_  ( RR*  X.  RR* )
76brel 4737 . . 3  |-  ( x  <  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
8 lerelxr 8888 . . . . 5  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
92, 8sstri 3188 . . . 4  |-  (  <_  \  _I  )  C_  ( RR*  X.  RR* )
109brel 4737 . . 3  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  ->  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
11 xrltlen 10480 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  =/=  x ) ) )
12 eqcom 2285 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
13 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1413ideq 4836 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1512, 14bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  _I  y )
1615necon3abii 2476 . . . . . 6  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  _I  y )
1716anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  =/=  x )  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) )
1811, 17syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) ) )
19 brdif 4071 . . . 4  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  <->  ( x  <_ 
y  /\  -.  x  _I  y ) )
2018, 19syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y ) )
217, 10, 20pm5.21nii 342 . 2  |-  ( x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y )
221, 5, 21eqbrriv 4782 1  |-  <  =  (  <_  \  _I  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687   Rel wrel 4694   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
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