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Theorem dflt2 10498
Description: Alternative definition of 'less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dflt2  |-  <  =  (  <_  \  _I  )

Proof of Theorem dflt2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrel 8903 . 2  |-  Rel  <
2 difss 3316 . . 3  |-  (  <_  \  _I  )  C_  <_
3 lerel 8905 . . 3  |-  Rel  <_
4 relss 4791 . . 3  |-  ( (  <_  \  _I  )  C_ 
<_  ->  ( Rel  <_  ->  Rel  (  <_  \  _I  ) ) )
52, 3, 4mp2 17 . 2  |-  Rel  (  <_  \  _I  )
6 ltrelxr 8902 . . . 4  |-  <  C_  ( RR*  X.  RR* )
76brel 4753 . . 3  |-  ( x  <  y  ->  (
x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )
8 lerelxr 8904 . . . . 5  |-  <_  C_  ( RR*  X.  RR* )
92, 8sstri 3201 . . . 4  |-  (  <_  \  _I  )  C_  ( RR*  X.  RR* )
109brel 4753 . . 3  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  ->  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
11 xrltlen 10496 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  y  =/=  x ) ) )
12 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
13 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1413ideq 4852 . . . . . . . 8  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
1512, 14bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  _I  y )
1615necon3abii 2489 . . . . . 6  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  _I  y )
1716anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( x  <_  y  /\  y  =/=  x )  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) )
1811, 17syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  ( x  <_  y  /\  -.  x  _I  y ) ) )
19 brdif 4087 . . . 4  |-  ( x (  <_  \  _I  )
y  <->  ( x  <_ 
y  /\  -.  x  _I  y ) )
2018, 19syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y ) )
217, 10, 20pm5.21nii 342 . 2  |-  ( x  <  y  <->  x (  <_  \  _I  ) y )
221, 5, 21eqbrriv 4798 1  |-  <  =  (  <_  \  _I  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    _I cid 4320    X. cxp 4703   Rel wrel 4710   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
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