HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem dfms2 7738
Description: Alternate definition for the class of all metric spaces (replaces old version of df-ms 7733).
Assertion
Ref Expression
dfms2 |- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
Distinct variable group:   x,y,z,w,v
Proof of Theorem dfms2
StepHypRef Expression
1 df-ms 7733 . 2 |- MetSp = {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)}
2 xpeq1 3190 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. x))
3 xpeq2 3191 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> (dom dom y X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
42, 3eqtrd 1499 . . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (x X. x) = (dom dom y X. dom dom y))
5 feq2 3607 . . . . . . 7 |- ((x X. x) = (dom dom y X. dom dom y) -> (y:(x X. x)-->RR <-> y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR))
64, 5syl 10 . . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (y:(x X. x)-->RR <-> y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR))
7 raleq1 1778 . . . . . . . . 9 |- (x = dom dom y -> (A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)) <-> A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))
87anbi2d 614 . . . . . . . 8 |- (x = dom dom y -> ((((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
98raleqd 1783 . . . . . . 7 |- (x = dom dom y -> (A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
109raleqd 1783 . . . . . 6 |- (x = dom dom y -> (A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))) <-> A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
116, 10anbi12d 626 . . . . 5 |- (x = dom dom y -> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
1211pm5.32ri 644 . . . 4 |- (((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
13 fdm 3617 . . . . . . 7 |- (y:(x X. x)-->RR -> dom y = (x X. x))
14 dmeq 3300 . . . . . . 7 |- (dom y = (x X. x) -> dom dom y = dom ( x X. x))
15 dmxpid 3322 . . . . . . . . . 10 |- dom ( x X. x) = x
1615eqeq2i 1477 . . . . . . . . 9 |- (dom dom y = dom ( x X. x) <-> dom dom y = x)
1716biimp 151 . . . . . . . 8 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> dom dom y = x)
1817eqcomd 1472 . . . . . . 7 |- (dom dom y = dom ( x X. x) -> x = dom dom y)
1913, 14, 183syl 20 . . . . . 6 |- (y:(x X. x)-->RR -> x = dom dom y)
2019adantr 389 . . . . 5 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) -> x = dom dom y)
2120pm4.71i 635 . . . 4 |- ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) <-> ((y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
22 visset 1804 . . . . . 6 |- y e. V
23 eqid 1468 . . . . . . 7 |- dom dom y = dom dom y
2423ismet 7737 . . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))))
2522, 24ax-mp 7 . . . . 5 |- (y e. Met <-> (y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
2625anbi1i 480 . . . 4 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> ((y:(dom dom y X. dom dom y)-->RR /\ A.z e. dom dom yA.w e. dom dom y(((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. dom dom y(zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))) /\ x = dom dom y))
2712, 21, 263bitr4r 184 . . 3 |- ((y e. Met /\ x = dom dom y) <-> (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw)))))
2827opabbii 2661 . 2 |- {<.x, y>. | (y e. Met /\ x = dom dom y)} = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
291, 28eqtr 1487 1 |- MetSp = {<.x, y>. | (y:(x X. x)-->RR /\ A.z e. x A.w e. x (((zyw) = 0 <-> z = w) /\ A.v e. x (zyw) <_ ((vyz) + (vyw))))}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  {copab 2656   X. cxp 3158  dom cdm 3160  -->wf 3168  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  Metcme 7728  MetSpcmt 7729
This theorem is referenced by:  ismsg 7739  msflem 7742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-met 7732  df-ms 7733
Copyright terms: Public domain