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Theorem dfnn2 10013
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. This was our original definition, before the current df-nn 10001 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfnn2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 9086 . . . . 5  |-  1  e.  _V
21elintab 4061 . . . 4  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x ) )
3 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x )
42, 3mpgbir 1559 . . 3  |-  1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
5 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
65eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
76rspccv 3049 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  e.  x  ->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
98a2i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  z  e.  x
)  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
109alimi 1568 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x )  ->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
11 vex 2959 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 4061 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x ) )
13 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
1413elintab 4061 . . . . 5  |-  ( ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 258 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( z  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
1615rgen 2771 . . 3  |-  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
17 peano5nni 10003 . . 3  |-  ( ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  /\  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  (
z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  NN  C_ 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
184, 16, 17mp2an 654 . 2  |-  NN  C_  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
19 1nn 10011 . . . 4  |-  1  e.  NN
20 peano2nn 10012 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2120rgen 2771 . . . 4  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
22 nnex 10006 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
23 eleq2 2497 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
24 eleq2 2497 . . . . . . 7  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2524raleqbi1dv 2912 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2623, 25anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
2722, 26elab 3082 . . . 4  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2819, 21, 27mpbir2an 887 . . 3  |-  NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
29 intss1 4065 . . 3  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN )
3028, 29ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN
3118, 30eqssi 3364 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705    C_ wss 3320   |^|cint 4050  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993   NNcn 10000
This theorem is referenced by:  dfnn3  10014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-nn 10001
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