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Theorem dfnn2 9775
Description: Alternate definition of the set of natural numbers. This was our original definition, before the current df-nn 9763 replaced it. This definition requires the axiom of infinity to ensure it has the properties we expect. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfnn2  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfnn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 8849 . . . . 5  |-  1  e.  _V
21elintab 3889 . . . 4  |-  ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x ) )
3 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
1  e.  x )
42, 3mpgbir 1540 . . 3  |-  1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
5 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  1 )  =  ( z  +  1 ) )
65eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
76rspccv 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  e.  x  ->  ( z  +  1 )  e.  x ) )
98a2i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  z  e.  x
)  ->  ( (
1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
109alimi 1549 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x )  ->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
11 vex 2804 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1211elintab 3889 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
z  e.  x ) )
13 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
1413elintab 3889 . . . . 5  |-  ( ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  -> 
( z  +  1 )  e.  x ) )
1510, 12, 143imtr4i 257 . . . 4  |-  ( z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  ( z  +  1 )  e. 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
1615rgen 2621 . . 3  |-  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ( z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
17 peano5nni 9765 . . 3  |-  ( ( 1  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  /\  A. z  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  (
z  +  1 )  e.  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )  ->  NN  C_ 
|^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) } )
184, 16, 17mp2an 653 . 2  |-  NN  C_  |^|
{ x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
19 1nn 9773 . . . 4  |-  1  e.  NN
20 peano2nn 9774 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2120rgen 2621 . . . 4  |-  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN
22 nnex 9768 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
23 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  (
1  e.  x  <->  1  e.  NN ) )
24 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( x  =  NN  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2524raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( x  =  NN  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2623, 25anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  NN  ->  (
( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( 1  e.  NN  /\ 
A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) ) )
2722, 26elab 2927 . . . 4  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  ( 1  e.  NN  /\  A. y  e.  NN  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
2819, 21, 27mpbir2an 886 . . 3  |-  NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
29 intss1 3893 . . 3  |-  ( NN  e.  { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN )
3028, 29ax-mp 8 . 2  |-  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  NN
3118, 30eqssi 3208 1  |-  NN  =  |^| { x  |  ( 1  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556    C_ wss 3165   |^|cint 3878  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  dfnn3  9776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
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